Hi Tim,
bei der ersten Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher, wie die Aufgabe gemeint ist. Liegt die Grundfläche irgendwie im Raum, oder der x-y Ebene? Wie ist eine Pyramide definiert? Ist ein bestimmtes Höhe-Breite Verhältnis vorgegeben? Weil prinzipiell kann man ja die Spitze einer Pyramide entlang des Lotes auf die Grundfläche verschieben und erhält wieder eine Pyramide. Natürlich muss AM*MS=0 sein. Hier ist wie ich glaube, dass die Aufgabe gestellt ist: Du hast irgendein Rechteck im Raum gegeben, dass durch zwei orthogonale Vektoren aufgespannt wird. Wir wissen, dass die Spitze irgendwo auf der Senkrechten über dem Mittelpunkt M steht. Diesen Mittelpunkt kann man leicht ausrechnen M=1/2(v_1+v_2)+K , wobei K der Startpunkt des Rechtecks ist. Die Gerade, auf der die Spitze liegen muss, ist dann gegeben durch L(a)=M+ a *(v_1 Kreuz v_2). Diese Linie ist senkrecht zu den seiten v_1 und v_2 (wegen dem Kreuzprodukt) und geht durch den Mittelpunkt L(a=0)=M . Diese Gerade ist durch a parametrisiert. Wir suchen jetzt den Punkt, wo diese Gerade die x-z Ebene schneidet. Diese Ebene ist durch zwei andere Parameter b und c parametrisiert und in der Form E(b,c)=b*ex+c*ez, mit ex und ez die Einheitsvektoren in x und z Richtung. Jetzt setzt man die beiden Vektorterme gleich L(a)=E(b,c). Da es eine Vektorgleichung ist, sind es eigentlich drei Gleichungen, für jede Koordinate eine. Jetzt muss man nur a,b und c finden, damit diese Gleichung gelöst ist. Das sollte nicht so schwer sein, da die Ebene direkt in x und z Richtung liegt. Wenn mann es sich genau überlegt, dann ist es noch einfacher. Man muss den Punkt finden, wo die y-Komponente vom Vektor L(b)=0 ist. Dadurch ist b eindeutig gegeben.
Die zweite Aufgabe funktioniert ähnlich. Du musst Dir die Ebene als Vektorgleichung mit zwei abhängigen Variablen machen. Nimm einfach einen Punkt der Ebene (am besten am Rand vom Quader) und nimm zwei senkrechte Vektoren in der Ebene (am besten parallel zu den Seitenflächen des Quaders). Setze sie in die Ebenengleichung und setze diese gleich mit der Liniengleichung. Auch hier gibt es eine schlaue Alternative. Nimm irgendwelche zwei Vektoren dieser Ebene (die nicht parallel zueinander sind) und bilde das Kreuzprodukt. Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene. Addiere zu diesem Vektor irgendeinen Punkt der Ebene. Jetzt bilde das Skalarprodukt von diesem Vektor mit dem Linienvektor L(b). Dieses Skalarprodukt „misst“ quasi den Anteil der Linie, der nicht auf der Ebene liegt. Nun kannst Du das b finden, für welchen dieser Anteil 0 ist und Du hast das Problem gelöst.
Ich hoffe, ich habe das einigermaßen verständlich erklärt. Du kannst aber gerne nachfragen.
Schönes Wochenende,
Arvid
