Könnt ihr euch dieses Bild anschauen? Warum ist es möglich, den Bruch in solch einer Art darzustellen?
Ich übe mich grad in Vollständigen Induktionen, und kann nicht nachvollziehen warum dies die Lösung sein soll.
hier ist das Bild dazu: http://imgur.com/2v8yVQ8
Hallo xarezx,
Du kommst von links nach rechts, in dem Du zunächst alles auf einem Bruchstrich schreibst: n(n+1)+2(n+1) und dann den gemeinsamen Faktor (n+1) ausklammerst.
(n+1)*(n+2)
Klar?
Viele Grüße
Hi,
Bei diesem Problem kannst du dir erstmal die 2 unter dem Bruchstrich wegdenken.Da sie unter allen Termen der Gleichung steht, kann man sie einfach rauskürzen. Das n(n+1) + 2(n+1) kannst du ausmultiplizieren und zusammenfassen. Du erhälst dann n^2 + 3n + 2. Auf der rechten Seite steht dann das gleiche, nur faktorisiert. (n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 . Du kannst das also entweder durch ausmultiplizieren und vergleichen der beiden Terme lösen, oder durch faktorisieren des ausmultiplizieren Terms. Das Faktorsieren ist im Allgemeinen allerdings nicht immer ganz einfach und dafür gibt es auch keinen Masterway. Man könnte das ausmultiplizierte Polynom über n auftragen und sich die Nullstellen anschauen. Das sind dann die Zahlen in den Klammern (in diesem Fall also 2 und 1). Vielleicht ist auch das ganz hilfreich
http://en.wikipedia.org/wiki/Factorisation
So, hoffe ich konnte helfen.
MfG Fabio
Verstehe nicht so richtig, wo ist das Problem?
Wenn du den Faktor 1/2*(n+1) auf der linken Seite vor die Klammer ziehst , bekommst du doch automatisch das was rechts steht. Oder habe ich da was übersehen?
Grüßle
Albrecht
Erstmal danke für die vielen, schnellen und tollen Antworten.
Der gemeinsame Faktor ist das, was mir nicht aufgefallen ist (unverständlicher Weise)… danke! Jetzt ist mir die Umformung verständlich.
Per Induktion:
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = (n+1)(n+2)/2
für n = 1:
1(1+1)/2 + 2(1+1)/2 = (1+1)(1+2)/2
1+2 = 1*3
für n = 1 stimmt es
also gehen wir von n nach n+1
(n+1)(n+2)/2 + 2(n+2)/2 = (n+2)(n+3)/2
((n+2)+n)/2+n(n+1)/2 + 2/2+2(n+1)/2 = ((n+3)+(n+1))/2 + (n+1)(n+2)/2
Jetzt nehmen wir die Induktionsannahme raus, da sie ja richtig war für n = 1 und es bleibt
((n+2)+n)/2+2/2 = ((n+3)+(n+1))/2
zusammengefasst:
n+2 = n+2
qed
Hallo xarezx,
ignoriere mal was unter dem Bruchstrich steht (du kannst dir vorstellen, dass du die gesamte Gleichung mit 2 multiplizierst) und dann löse die Klammern auf beiden Seiten auf. Du wirst sehen, es kommt das selbe raus.
Wie man auf so eine Lösungsidee kommt? Üben, wie du es schon machst, mit der Zeit sieht man so etwas. Gibt’s leider kein Patentrezept.
Viele Grüße,
malte
Meines Wissen gibt es kein Verfahren auf diesen Schritt zu kommen.
Mit ein bißchen mathematischer Erfahrung „sieht“ man jedoch wie die Multiplikatoren zusammen gesetzt sein müssen, damit die Gleichung stimmt.
Ich meine - der Nenner = 2.
D. h. du kannst die zwei Brüche erstmal als einen hinschreiben.
n(n+1) + 2(n+1) / 2
ausmultiplizieren
n^2 + n + 2n + 2 / 2 =
n^2 + 3n + 2 / 2
wenn du das jetzt aufspalten willst in zwei Klammern, dann ist folgendes klar:
Eine Möglichkeite ist erstmal etwas zu konstruieren dass Kriterium 1&2 erfüllt und dann zu schauen ob es auch für Kriterium 3 passt.
ausmultipiziert ergibt sich:
n^2 + n + 2n + 2
und das ist unser gewünschtes Ergebnis!
Hallo xarezx,
Um selbst diese Lösung zu erreichen, muss man einen bestimmten Zielgedanken haben. Aber bevor ich lange darüber quatsche:
Falls du nur überprüfen willst, ob die linke Seite gleich der rechten ist, multipliziere die beiden Klammern aus und vergleiche den Term der Zähler. Beide Male entsteht „n^2 + 3n + 3“.
Falls du wissen willst, wie man auf sowas kommen soll, wenn man nur die linke Seite bekommt:
Ich gehe mal nur auf die Zähler ein. Wie oben erwähnt, erhält man nach Ausmultiplizieren „n^2 + 3n + 3“. Wenn die Zielsetzung ist aufeinander folgende Glieder einer Induktionskette darzustellen, nützt einem diese quadratische Form wenig. Wenn einem dann die Nullstellenform einer quadratischen Funktion wieder einfällt (oder allgemeiner gesprochen die Linearfaktorzerlegung), dann ist dies immer einen Versuch Wert. Hier führt es ja scheinbar zum gewünschten Ergebnis. Genauer kann ich mich leider nicht artikulieren, weil mir die gesamte Aufgabe nicht bekannt ist.
Ich habe hier eine gute Anleitung zur Linearfaktorzerlegung gefunden, falls sich gerade Folgefragen aus meinen Erklärungen ergeben haben
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/linearfakt…
ganz einfach:
den nenner kannst du erst einmal vernachlässigen. und der rest kannst du dir so vorstellen:
du hast „n“ äpfel (äpfel ist die klammer mit [n+1] ) und du zählst „2“ äpfel dazu -> du hast (n+2) viele äpfel -> du ersetzt äpfel mit deiner normalen klammer und dann kommst du auf dieses ergebnis
Das ist ja eine Addition von zwei Brüchen mit demselben Nenner, also werden einfach die Zähler addiert (und der Nenner stehen gelassen):
( n (n+1) + 2 (n + 1) ) / 2
Jetzt klammert man im Zähler einfach (n + 1) aus (nach vorne), es bleibt also:
( (n + 1) (n + 2) ) / 2
Fertig.
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