Quadratische Ergänzung mit komplexen Zahlen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen, 
ich weiß in letzter Zeit frage ich viel …aber ich schätze mal das www genau deswegen da ist.
also es handelt sich um die folgende Aufgabe : z² + (2i+2) z +4i = o 

Jetzt soll ich halt die Lösung von z bestimmen ( z ∊ |C)

Dann bin ich so vorgegangen (Quadratische Ergänzung): 

z² + (2i+2) z = -4i
z² + (2i+2) z + (1+i)² = -4i + (1+i)²
(z+1+i)² = -2i

Von da an bin ich nicht weiter gekommen. Ich habe hier die Lösungen, aber ich kann die nicht nachvollziehen, deswegen wollte ich die Experten bitten von hier an für mich weiter zu rechnen ( bitte ausführlich).

In der Lösung sagen die " w = x+iy => w²= x² - y² +2ixy = -2i  … Vergleich von Real- und
Imaginarteil liefert x² = y² und xy = -1 .

Die zweite Gleichung liefert y = -1/x in die erste Gleichung eingesetzt ergibt das x = ± y = ±1/x also x² = ± 1 … Damit erhalten wir entweder w = 1- i oder w = -1 + i … L= { -2, -2i}"

Das was in der Lösung steht kann ich nicht nachvollziehen, ich hoffe unter Ihnen ist jmd. der  mich unterstützen kann.

MfG R.

#2

Du hast doch gerade ausgerechnet, dass (1+i)^2=2i gilt. Das kannst Du genauso rückwärts anwenden.

Gruß, Lutz

#3

In der Lösung sagen die " w = x+iy => w²= x² - y² +2ixy = -2i … Vergleich von Real- und
Imaginarteil liefert x² = y² und xy = -1

x² = y² gibt in diesem Fall x = -y, sonst würde nicht gelten xy = -1
Dann ist xy = -x² = -1, also x = Plusminus 1.

Was

Damit erhalten wir entweder w = 1- i oder w = -1 + i

erklärt

Durch Rücksubstitution ergibt sich

z = -2i und z = -2

mfg

#4

Hallo R.,

ergänzend zu Lutz und Peter rege ich, mit dieser Gleichung genau so umzugehen wie mit allen anderen quadratischen Gleichungen, also für Gleichungen in der Form
z² + pz + q = 0
mit den Lösungen
x = -p/2 ± wurzel((p/2)² - q)

Hier also mit
p = (2i + 2)
(bzw. -p/2 = -i - 1)
und
q = 4i

z = (-i - 1) ± wurzel((i + 1)² - 4i)
z = (-i - 1) ± wurzel(i² + 2i + 1 - 4i)
z = (-i - 1) ± wurzel(-1 + 2i + 1 - 4i)
z = (-i - 1) ± wurzel(-2i)
z = (-i - 1) ± (-1 + i)

z1 = -i - 1 - 1 + i = -2
z2 = -i - 1 + 1 -i = -2i

mfg SdV

#5

Vielen Dank für deine Antwort. Ich kann alles was du gemacht hast nachvollziehen, aber eine Frage hätte ich da noch: Wie kommen Sie von Wurzel(-2i) auf (-1+i) ? Wenn Sie mir das noch erläutern könnten hätte ich es verstanden ( Gibt es Formel ? Oder kannten Sie nur zufällig die wurzel von -2i?).
Wenn sie einen Rechen Weg kennen wobei Sie die Wurzel von Komplexen als auch Imaginären Zahlen mal i nehmen können (also yi von z=x + iy), könnten Sie mir diesen Rechen Weg erklären ? Und z.B. von diesen Zahlen die Wurzel als Beispiel ausrechnen : Wurzel(6i) , Wurzel(12i), Wurzel(17i) , Wurzel (2+8i) und Wurzel ( 7+i). Ich bedanke mich im Voraus.
MfG R.

#6

Koeffizientenvergleich

Wie kommen Sie von Wurzel(-2i) auf (-1+i) ? Wenn Sie mir das noch erläutern könnten :hätte ich es verstanden ( Gibt es Formel ? Oder kannten Sie nur zufällig die wurzel von -2i?).

zufällig…
Das zeigt, dass du die bisher gegebenen Antworten nicht kapiert hast oder nicht kapieren wolltest.

Letzter Versuch meinerseits:
Wurzel(-a*i) (a wird als positive reelle Zahl angenommen) ist eine komplexe Zahl z = x + i*y mit dem reellen Teil x und dem imaginären Teil y.

Quadrieren liefert:

0 ±a*i = (x + i*y)^2 = x^2 + 2*i*x*y – y^2

reeller Teil von 0 + -a*i ist 0
reeller Teil von x^2 + 2*i*x*y – y^2 ist x^2 – y^2
Koeffizientenvergleich
x^2 – y^2 = 0
mit x = plusminus y

imaginärer Teil von 0 + -a*i ist -a
imaginärer von x^2 + 2*i*x*y – y^2 ist 2*x*y
Koeffizientenvergleich
2*x*y = -a
wenn a positiv ist, dann ist y = -x, sonst könnte nicht gelten 2*x*y = -a
Also -x^2 = -(a/2) mit x = plusminus wurzel(a/2), der reelle Teil von z
Da y gegenüber x ein umgekehrtes Vorzeichen hat ist y = minusplus wurzel(a/2), der imaginäre Teil von z

Also ist die Lösung entweder

z1 = wurzel(a/2) – i *wurzel(a/2)
oder
z2 = -wurzel(a/2) + i *wurzel(a/2)

Deine übrigen Quadratwurzeln kannst du nach dem gleichen Schema ableiten.

Wie wäre es mal mit einem Buch? Ich empfehle dir „Merziger, Wirth- Repetitorium Höhere Mathematik, Binomi Verlag“. Da sind LGS übrigens auch bestens erklärt.

mfg

#7

Wie schon gesagt, in Deiner Rechnung taucht (1+i)^2=2i schon ganz natürlich auf. Wegen i^2=-1 ist dann auch

(i*(1+i))^2=-2i, und es ist i*(1+i)=-1+i.

Bei Quadratwurzeln ist immer auch die negative der ersten Wurzel eine zweite Wurzel, also ist auch (1-i)^2=-2i.

Du kannst (und darfst) auch den Wikipedia-Artikel zur Quadratwurzel lesen, da gibt es eine allgemeine Formel für komplexe Quadratwurzeln.

Gruß, Lutz

#8

von Wurzel(-2i) auf (-1+i)

Wurzel(-2i) = Wurzel(-1) * Wurzel(2) * Wurzel(i)

Wurzel(-1) = i
Wurzel(2) bleibt
Wurzel(i) wie geht das?

Im Zeigerdiagramm ist i ein Zeiger mit 90° nach oben bei der n-ten Wurzel wird der Winkel durch n geteilt und der Betrag auch durch n.
Der Betrag ist und bleibt hier 1, der Winkel wird zu 45° (pi/4)

Außerdem entstehen insgesamt n Ergebnisse, die gleichmäßig über die 360° verteilt sind.
Bei dre 2. Wurzel gibt es also ein zweites Ergebnis mit umgekehrtem Vorzeichen.

Wie groß sind dann Realteil und i-Teil? Je 1/Wurzel 2 oder Wurzel(1/2)
= Wurzel(1/2) + i*Wurzel(1/2) = Wurzel(1/2) * (1 + i)

Unsere 3 Teilergebnisse zusammen:
i * Wurzel(2) * (Wurzel(1/2) + i*Wurzel(1/2)) = i * (1 + i) = i - 1 = -1 + i
Zweites Ergebnis: +1 - i

Schöne Grüße
JK

#9

von Wurzel(-2i) auf (-1+i)

Wurzel(-2i) = Wurzel(-1) * Wurzel(2) * Wurzel(i)

Wurzel(-1) = i
Wurzel(2) bleibt
Wurzel(i) wie geht das?

Im Zeigerdiagramm ist i ein Zeiger mit 90° nach oben bei der
n-ten Wurzel wird der Winkel durch n geteilt und der Betrag
auch durch n.
Der Betrag ist und bleibt hier 1, der Winkel wird zu 45°
(pi/4)

Einfach genial!! Sagt das dein Friseur? Oder (im Zuge einer Wurzelbehandlung) gar dein Zahnarzt?
mfg
Peter