Werte Mathe-Menschen,
im Rahmen des Lernens für meine Lineare Algebra-Klausur, möchte ich gerne einige Matrizen diagonalisieren und suche nun nach einer Quelle, die mir sinnvolle Matrizen vorgibt. Vielen Dank im Voraus,
MfG Matzebombaa
Hallo,
für die LinA-Klausur solltest Du unter anderem wissen, was es für eine Matrix heißt diagonalisierbar zu sein. Also, warum generierst Du Dir die nicht einfach selbst?
Ausgehend von einer Diagonalmatrix D, nimm irgendeine reguläre Matrix S und bilde A = S^-1 D S. Dann diagonalisierst Du A.
Okay, jetzt kannst Du wieder fragen, wie bekommt man denn Beispiele für reguläre Matrizen. Stimmt, aber auch das ist einfach. Eine Matrix ist regulär, wenn die Determinante ungleich Null ist.
Dann kannst Du Dich parallel dazu ja nochmal erinnern, wie die Determinante einer Matrix in Echelon-Form (obere Dreiecksmatrix) ist, und vielleicht findest Du selbst, was gelten muß, damit diese nicht Null ist. Auch invertieren von Matrizen in Echelon-Form ist einfach, falls Du kein Computer-Algebra-System zur Hand hast.
Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort,
aber ich fürchte, dass ich die Materie leider nicht so weit durchdrungen habe, zumal Mathematik auch nicht mein Hauptfach ist. Ich weiß, dass das keine Entschuldigung ist, es ist allerdings eine Erklärung. Trotzdem wertschätze ich die Antwort sehr.
MfG, Matzebombaa
Okay, also die Auflösung ist, daß die Determinante einer Echelon-Matrix gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen ist. Es darf also keine Null dabei sein, damit eine solche Matrix regulär ist.
Zum Invertieren: Die Echelon-Form hat schon den wesentlichen Teil der Arbeit einer Gauss-Elimination gemacht (Dreiecksgestalt), nun musst Du eigentlich nur noch „Einsetzen“. Also versuchen die linke Seite zu einer Einheitsmatrix zu machen. Kann ich hier schlecht beschreiben bzw. darstellen, ist aber an sich ganz einfach.
Besten Dank, natürlich ist das ganz logisch, wenn es mal gesehen hat oder weiß, dass man Gaußalgorithmus benutzen kann, wir hatten soweit ich mich erinnern kann nur den Laplace’schen Entwicklungssatz dafür.