guten Tag,
heute stiess ich auf eine Aufgabe, die ich partout nicht lösen konnte:
faktorisiere r^4-3r^2+1
Die Lösung ist: (r^2-r-1)(r^2+r-1)
Ich hoffe irgendjemand kann mir einen Tipp geben, oder sonst einen Ansatz, bin halb am verzweifeln=)
Gruss
niemand
hi,
faktorisiere r^4-3r^2+1
Die Lösung ist: (r^2-r-1)(r^2+r-1)
ich probiers einmal…
man könnte ansetzen:
r^4-3r^2+1 = (r^2 + ar + b) (r^2 - ar + b)
das ist dann:
(r^2 + ar + b) (r^2 - ar + b) =
=r^4 - ar^3 + br^2 + ar^3 - a^2r^2 + abr + br^2 - abr + b^2 =
= r^4 + r^2 (2b - a^2) + b^2
und dann koeffizientenvergleich:
2b - a^2 = -3
b^2 = 1
das gibt dann noch mehrere fälle:
b = 1 liefert a^2 = 5
b = -1 liefert a^2 = 1
mit jeweils 2 varianten für a.
nicht alle möglichen lösungen sind auch welche, wenn mans ausrechnet.
…
insofern ist die von dir genannte lösung nicht die einzige.
m.
vielen dank für die ausführungen!
ich bin aber darüber gestolpert, weil ich nicht wusste was für einen ansatz ich nehmen sollte! wie bist du auf diesen zweiklammeransatz gekommen? kann man das an dem ausgangstherm ablesen? ich hatte danach noch die idee (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) zu versuchen, hat mich aber auch nicht wirklich weiter gebracht…
gruss niemand
hi,
ich bin aber darüber gestolpert, weil ich nicht wusste was für
einen ansatz ich nehmen sollte! wie bist du auf diesen
zweiklammeransatz gekommen? kann man das an dem ausgangstherm
ablesen?
naja: ähnliche ansätze gibts bei integration durch partialbruchzerlegung.
das ganze ist 4. ordnung, also probieren wir 2 terme 2. ordnung.
die ungraden potenzen fallen weg, also sorgen wir im ansatz dafür vor …
der rest war probieren.
m.
Hi,
mal abgesehen das die Lösung zwar nicht direkt falsch, sondern unvollständig ist.
mein Ansatz:
Erst die Nullstellen ausrechnen nach den 5 Verfahren.
1.einfach lösen
2.x ausklammern
3.pq-Formel
4.Substitution
5.Polynomdivision
in diesem Fall Substitution.
Man findet 4 Nullstellen
(gerundet)
r1=1,618033988749895
r2=0,6180339887498948
r3=-1,618033988749895
r4=-0,6180339887498948
(exakt)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3Dr^4-3r^2%2B1
Vollständig faktorisiert ist es also
0=(r-1,618033988749895)(r-0,6180339887498948)(r+1,618033988749895)(r+0,6180339887498948)
Wenn jetzt nur 2 Nullstellen gefunden worden wären, dann hätte man die gefundenen Nullstellen mittels Polynomdivision aus dem Ursprungsterm heraus dividiert.
Dann wäre das Polynom:
0=(r-Nullstelle1)(r-Nullstelle2)(Restpolynom)
MFG
vielen dank!
ich war zu vermurkst und wollte alles mit ganzen zahlen lösen, und kam nicht auf die idee, nach der substitution das ganze weiter zu ziehen!
gruss niemand
Hallo,
heute stiess ich auf eine Aufgabe, die ich partout nicht lösen
konnte:
faktorisiere r^4-3r^2+1
Die Lösung ist: (r^2-r-1)(r^2+r-1)
ich würde einfach mit der Substitution x = r2 starten. Die Gleichung
x^2 - 3x + 1 = 0
ist quadratisch und somit ihre Nullstellen leicht per pq-Formel bestimmbar:
x_{1,2}
= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Big(\frac{3}{2}\Big)^2 - 1}
= …
= \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
Damit kannst Du die Faktorisierung von x2 – 3x + 1 hinschreiben:
\left(x - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)
\left(x - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)
und nach r2-Resubstitution steht da
\left(r^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)
\left(r^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)
und damit kennst Du sofort schon alle vier Linearfaktoren von r4 – 3r2 + 1:
\underbrace{\left(r + \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\right)}_A
\underbrace{\left(r - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\right)}_B
\underbrace{\left(r + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right)}_C
\underbrace{\left(r - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right)}_D
Einverstanden? Hinter dem Schritt von ( )( ) nach ( )( )( )( ) steckt die dritte binomische Formel, die ja angibt, wie die Faktorisierung von a2 – b2 lautet, nämlich (a + b)(a – b).
Jetzt musst Du nur noch das Linearfaktorenprodukt zu AD BC umsortieren und ausrechnen, dass
A D = r^2 + r - 1
und
B C = r^2 - r - 1
ist. Das geht fast problemlos, wobei der Grund für das „fast“ der Ausdruck
\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}
\quad\quad[*]
ist. Dieses sonderbare Ding (dessen Auftauchen hier nicht verwunderlich ist, denn dergleichen ist typisch für Lösungen von Gleichungen vom Grad ≥ 3) ist wahrhaftig gleich 1 (!), aber es ist im allgemeinen nicht möglich, solche Gebilde direkt irgendwie zu vereinfachen. Der „amtliche“ Weg wäre, tatsächlich die beiden verschachtelten Wurzeln separat auszuziehen (dafür gibt es Methoden) und danach die Subtraktion durchzuführen:
\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}
= {\frac{\sqrt{5} + 1 }{2}} - {\frac{\sqrt{5} - 1}{2}} = 1
Zum Glück kann man sich das Ausziehen der verschachtelten Wurzeln hier aber sparen, wenn man einen Trick anwendet: Berechne statt [*] die Wurzel aus dem Quadrat von [*] und nutze aus, dass sich der Radikant leicht zu 1 vereinfachen lässt:
[\ast]
= \sqrt{u} - \sqrt{v}
= \sqrt{\left({\sqrt{u} - \sqrt{v}}\right)^2}
= \sqrt{u - 2 \sqrt{uv} + v}
= …
= \sqrt{1}
= 1
Alles klar? 
Gruß
Martin
Hi,
bei biquadratischen Termen dieser Art kann man die quadratische Ergänzung „falsch herum“ machen. Man fasst dabei den 4-ten und den konstanten Term zu einem Quadrat zusammen und ergänzt den linearen Term so, dass eine dritte binomische Formel, d.h. eine Differenz von zwei Quadraten, zustandekommt.
r^4+1\text{ kann zu }(r^2+1)^2\text{ oder }(r^2-1)^2 ergänzt werden. Im ersten Fall ist
r^4-3r^2+1=(r^2+1)^2-2r^2-3r^2=(r^2+1)^2-5r^2,
hat also die notwendige Form, im zweiten Fall ist
r^4-3r^2+1=(r^2-1)^2+2r^2-3r^2=(r^2-1)^2-r^2
woraus sich die Faktorisierung Deiner Musterlösung ergibt.
\begin{align}
r^4-3r^2+1&=(r^2+1+\sqrt5r)(r^2+1-\sqrt5r)&&\text{ (erste Variante)}\
&=(r^2-1+r)(r^2-1-r)&&\text{ (zweite Variante)}
\end{align}
Gruß, Lutz
hi
vielen dank, das hat mir nun wirklich die augen geöffnet! eigentlich wäre ja dann die vollständig faktorisierung dieser therm mit den vier klammern! (im gegensatz zu der angegebenen lösung…)
gruss niemand