Rechenaufgabe

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,

vor ein paar Jahren wollte ein Kollege von mir etwas ausgerechnet haben und ich habe die Lösung einfach nicht finden können. Dieses Problem hat mich verfolgt, bis sich mein Sohn heute bei den Hausaufgaben hat helfen lassen. Dabei ging es um einen Satz, den ich bisher nicht kannte oder vergessen hatte, weil ich in Mathe nicht genug aufgepasst habe. :smile: Damit war die Lösung dann ganz leicht.

Das Problem:

Der Kollege wollte einen Durchgang vom Esszimmer zum Wohnzimmer mit einem Rundbogen versehen und sich dafür eine Schablone bauen. Der Durchgang sollte 2 Meter breit werden und die Höhe des Bogens in der Mitte 15 Zentimeter höher als an den Seiten.

Mit einem Pflock in der Erde, einer Schnur und einem Bleistift sollte ein begelfsmäßiger Zirkel gebaut werden. Wie lang hätte die Schnur sein müssen?

Ich bin mal gespannt, in wieviel Sekunden hier die Lösung steht. :smile:

Gruß Rainer

#2

Wenn der Pflock 15 cm hoch ist, dann muss die Schnur einen Radius von einem Meter haben.

#3

Hallo,

Wenn der Pflock 15 cm hoch ist, dann muss die Schnur einen
Radius von einem Meter haben.

dann wird der Bogen in der Mitte aber einen Meter höher als an den Seiten. Das ist falsch. Du darfst auch gern den Pflock und die Schnur durch einen regulären Zirkel ersetzen, wenn der groß genug ist.

Der Radius des Kreises soll berechnet werden, von dem wir nur einen kleinen Abschnitt kennen. So schwer war das doch aber nicht zu verstehen …

Gruß Rainer

#4

Hi Rainer,

wenn ich keinen Rechenfehler drin habe (is noch wat früh :wink: sollten 1,20 m für die Schnur reichen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

gruß
schreiraupe

#5

Hi Schreiraupe,

wenn ich keinen Rechenfehler drin habe (is noch wat früh :wink:
sollten 1,20 m für die Schnur reichen.

ja, Du hast Dich verrechnet. Das ist aber egal. :smile:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

Sorry, ich hätte erst mal bei Wiki nachsehen sollen.

Gruß Rainer

#6

Spoiler
Hallo Rainer,

Wie lang hätte die Schnur sein müssen?

ca. 3,40 m (nach Pythogaros, falls ich mich nicht verrechnet habe).

Andreas

#7

Spoiler

Der Kollege wollte einen Durchgang vom Esszimmer zum
Wohnzimmer mit einem Rundbogen versehen und sich dafür eine
Schablone bauen. Der Durchgang sollte 2 Meter breit werden und
die Höhe des Bogens in der Mitte 15 Zentimeter höher als an
den Seiten.

Mit einem Pflock in der Erde, einer Schnur und einem Bleistift
sollte ein begelfsmäßiger Zirkel gebaut werden. Wie lang hätte
die Schnur sein müssen?

Ich bin mal gespannt, in wieviel Sekunden hier die Lösung
steht. :smile:

Hallo Rainer,

vielleicht gibts da einen mir unbekannten Trick/Gedanken der die Berechnung beschleunigt.

Ich komme auf 3,4083333m.
Entweder mit dieser Formel von Wikipedia oder selbst herausgearbeitet wie hier:

Ich stelle mir den Durchgang als Rechteck vor mit unbekannter Höhe H und der Breite von 2m.
Obendrauf ist ein Kreissegment, 15 cm hoch gesetzt.

Radius r ist dann sowohl die komplette Durchgangshöhe in Mitte, also H + ,15
als auch Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreieckecks mit den Seitenlängen H und 1m.

Wenn ich nun beide Hs gleichsetze fliegt H aus der Berechnung raus, dann nach r umgestellt und das wars.

H=r-0,15
H=Wurzel(r^2-1^2)
H=H
Wurzel(r^2 - 1^2) = r - 0,15
r^2 - 1^2 = (r - 0,15)^2
r^2 - 1^2 = (r - 0,15) * (r - 0,15)
r^2 - 1^2 = r^2 - 0,30*r + ,15^2
0,3*r = 1^2 + ,15^2
r = (1^2 + ,15^2) / 0,3
r = 3,4083333

Gruß
Reinhard

#8

Richtig
Hallo Andreas,

Wie lang hätte die Schnur sein müssen?

ca. 3,40 m (nach Pythogaros, falls ich mich nicht verrechnet
habe).

Stimmt! Aber nur Pytagoras? Damit bin ich nicht zum Ziel gekommen.
Ich habe noch den Kathetensatz dazu gebraucht und der war mir neu. :smile:

Gruß Rainer

#9

Hallo Reinhard,

Deine Lösung ist natürlich richtig. :smile:

Hmmm, jetzt frage ich mich, was wir damals alle gerechnet haben. Da waren mehrere Leute beteiligt und wir haben die Lösung nicht gefunden. :frowning:

Gruß Rainer

#10

Hallo,

Stimmt! Aber nur Pytagoras? Damit bin ich nicht zum Ziel
gekommen.

das steht auf meinem Zettel:

 |^-..
15 \_|\_\_100\_
 | /
 | /
x-15| / x
 | /
 | /
 |/

x^2 = 100^2 + (x-15)^2
x^2 = 100^2 + x^2 - 30x + 225
x = (100^2+225)/30

Andreas

#11

stimmt, ich war wirklich noch nicht wach. Sind 3.40 m.

gruß
schreiraupe

#12

Hi,

Stimmt! Aber nur Pytagoras? Damit bin ich nicht zum Ziel
gekommen.

das steht auf meinem Zettel:

|^-…
15 _|__100_
| /
| /
x-15| / x
| /
| /
|/

x^2 = 100^2 + (x-15)^2
x^2 = 100^2 + x^2 - 30x + 225
x = (100^2+225)/30

jetzt bin ich verblüfft. Der winkel rechts oben, dessen einer Schenkel X ist, ist doch gar kein rechter Winkel.

Gruß Rainer

#13

Hi,

|^-…
15 _|__100_
| W /
| /
x-15| / x
| /
| /
|/

jetzt bin ich verblüfft. Der winkel rechts oben, dessen einer
Schenkel X ist, ist doch gar kein rechter Winkel.

es geht um den rechten Winkel W. „^-…“ deutet den Kreisbogen an; „100“ ist die Länge der waagerechten Strecke.

Andreas

#14

Hmmm, jetzt frage ich mich, was wir damals alle gerechnet
haben. Da waren mehrere Leute beteiligt und wir haben die
Lösung nicht gefunden. :frowning:

Hallo Rainer,

ich habe erst die Formel aus Wiki genommen. Mir kam das Ergebnis irgendwie zu groß vor.

Dann, sogar ohne Skizze die ich sonst immer bei sowas mache, kam ich schnell darauf daß ja der Radius immer gleich lang ist in einem kreis.
Okay, keine so bahnbrechende Entdeckung :smile:

Aber als ich mir das so vorstellte sprang mir förmlich das rechtwinklige Dreicheck, bzw. beide Dreiecke ins Auge.
Tja, dann nur noch Phytagoras.
Und für c^2 = a^2 + b^2 brauche ich zum Glück noch kein Wiki *gg*

Vielleicht habt ihr einfach das Dreieck nicht erkannt und euch dann hilflos in irgendwelchen Kreisegmentformeln verstrickt *rat*

Weil bei Kreis, noch schlimmer bei Kugeln gibts schon heftige Formeln und die sind nicht leicht zu verstehen, da hat man Ruckzuck die Falsche erwischt.

Gruß
Reinhard

#15

Hi Andreas,

danke, jetzt habe ich’s verstanden. :smile:

Darauf bin ich nicht gekommen. :frowning:

Gruß Rainer

#16

Hallo Reinhard,

Aber als ich mir das so vorstellte sprang mir förmlich das
rechtwinklige Dreicheck, bzw. beide Dreiecke ins Auge.
Tja, dann nur noch Phytagoras.
Und für c^2 = a^2 + b^2 brauche ich zum Glück noch kein Wiki
*gg*

Ja, das war klar, aber im Dreieck, dessen eine Seite ‚r‘ ist haben wir nur eine Seite und den rechten Winkel gesehen, das reicht nicht.

Vielleicht habt ihr einfach das Dreieck nicht erkannt und euch
dann hilflos in irgendwelchen Kreisegmentformeln verstrickt
*rat*

Nein, ich habe die ganze Zeit mit Winkeln gerechnet … scheinbar völligen Unfug. :smile: Das ist aber schon ein paar Jährchen her, Wiki gab’s da noch nicht. :smile:

Weil bei Kreis, noch schlimmer bei Kugeln gibts schon heftige
Formeln und die sind nicht leicht zu verstehen, da hat man
Ruckzuck die Falsche erwischt.

Ja. *gg* Ich weiß.

Gruß Rainer

#17

Hallo,

Der Kollege wollte einen Durchgang vom Esszimmer zum
Wohnzimmer mit einem Rundbogen versehen und sich dafür eine
Schablone bauen. Der Durchgang sollte 2 Meter breit werden und
die Höhe des Bogens in der Mitte 15 Zentimeter höher als an
den Seiten.

Mit einem Pflock in der Erde, einer Schnur und einem Bleistift
sollte ein begelfsmäßiger Zirkel gebaut werden. Wie lang hätte
die Schnur sein müssen?

Wozu denn rechnen?
Die Aufgabe ist leicht zeichnerisch lösbar und Du findest die Lösung schneller, als bei einer Rechnung.

Gruß:
Manni

#18

Hi Manni,

Wozu denn rechnen?

selbstzweck. :smile: Nur um zu sehen, wie es geht.
Das Ergebnis war vor 35 Jahren interessant, die Wand um die es da ging, kann schon längst wieder abgerissen sein.

Gruß Rainer