Zwei Dörfer haben je 100 Einwohner.
Wie lange dauert es, bis in Dorf B doppelt so viele Einwohner wohnen wie in Dorf A? Oder anders gefragt: Nach wievielen Jahren leben in Dorf B 200 Leute?
Es hat vermutlich etwas mit Exponentialrechnung zu tun. Die Bevölkerung in Dorf B wächst wohl erst sehr langsam, dann immer schneller. Aber wie rechnet man das aus?
Also das lässt sich wie folgt berechnen:
B(t): Bevölkerung von Dorf B im Jahr t
B(0): Bevölkerung von Dorf B im Jahr 0 (= 100)
g: Bevölkerungswachstum pro Jahr (0.01 oder 1%)
B(t) = B(0)*(1+g)^t
Nun willst du wissen, wann B(t) doppelt so hoch ist, also 2xB(0).
2xB(0) = B(0)*(1+g)^t
Das muss nun nach t aufgelöst werden. Wir teilen also zuerst beide Seiten durch B(0):
2 = (1+g)^t
Danach lösen wir die Exponentialgleichung auf indem wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten anwenden:
ln(2) = t * ln(1+g)
Nach t auflösen:
t = ln(2) / ln(1+g)
Zahlen einsetzen:
t = ln(2) / ln(1.01) = 69.66 Jahre
Es dauert also etwas weniger als 70 Jahre, damit im Dorf B 200 Einwohner leben.
Hallo,
es muss wohl gelten:
1,01^n=2 (jährliche Steigerung um 1% als pro Jahr mal 1,01 nach n Jahren mus eine Verdopplung ergeben also x2)
das löst man mit dem Logarithmus:
also log (Basis 1,01) von 2 = n
oder ln2 / ln1,01 = n
mit ln ist der natürliche Logarithmus mit der Basis e, der auch auf dem Taschenrechner zu finden ist.
also n ca. 69,66 Jahre
Gruß Frank
Hallo,
Zwei Dörfer haben je 100 Einwohner.
- In Dorf A bleibt die Bevölkerung stabil.
- In Dorf B wächst die Bevölkerung um 1 Prozent pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis in Dorf B doppelt so viele Einwohner
wohnen wie in Dorf A? Oder anders gefragt: Nach wievielen
Jahren leben in Dorf B 200 Leute?
Es handelt sich, wie schon richtig vermutet, um exponentielles Wachstum. Die allgemeinte Formel hierfür (bzw. für den schon etwas konkretisierten Fall der prozentualen Zunahme)
B(t) = B(0) \cdot \left ( 1+ \frac{p %}{100} \right )^t
In der Aufgabe also
B(t) = 100 \cdot (1,01)^t
Die Frage ist nun, wann der Bestand B(t)=200 ist:
200 = 100 \cdot (1,01)^t \quad \Rightarrow \quad t=69,66
Nach etwa 70 Jahren hat sich die Bevölkerung in Dorf B verdoppelt.
Falls Du nicht weißt, wie man die obige Gleichung nach t auflöst, frag gerne nochmal 
Grüße!
vorweg: Wenn Du im Folgenden den Ausdruck exp(bla,bla) liest, musst Du Dir dafür immer „e hoch bla bla“ denken.
wenn Du mit „e“ noch nichts anfangen kannst, kannst Du dafür auch die 10 nehmen, musst aber überall, wo „ln“ vorkommt, Die „lg“ denken.
Los geht´s: Formel für Einwohnerzahl y nach t Jahren:
y=100 exp(kt)
Was dabei k ist erhält man durch Einsetzen der Vorgabe „1% Wachstum in einem Jahr“
Also 101 = 100 exp(k *1) daraus folgt:
k= ln (101:100)
Mit diesem k gehst Du in die Ausgangsgleichung:
200=100 * exp (ln(101:100)*t)
2= (exp(ln(101:100)) hoch t (3. Potenzgesetz !)
2 = (101:100) hoch t jetzt logarithmieren:
ln 2 = t * ln 1.01
t= (ln 2 
ln 1.01)) =69,66
Nach 69 Jahren und 8 Monaten hat sich die Bevölkerung verdoppelt
Die Einwohnerzahl im Dorf B entwickelt sich tatsächlich exponentiell. Die Formel lautet E(n) = 100*1,01^n , wobei n die Zahl der Jahre angibt, E(n) die Einwohner nach n Jahren.
Durch die Aufgabenstellung soll E(n) = 200 werden. Gesucht ist die Zahl für n. Es ergibt sich folgenden Gleichung:
E(n) = 200 = 100*1,01^n |:100
2 = 1,01^n | log
log(2) = n* log(1,01) | log(1,01)
n = log(2)/log(1,01)
Mit Taschenrechner ergibt sich:
n = 69,66
Demnach hat sich Einwohnerzahl des Dorfes B nach 70 Jahren mehr als verdoppelt. Nach der Formel sind es nach 70 Jahren E(70) = 100*1,01^70 = 200,676.
Das Ergebnis nach 69 Jahren zeigt tatsächlich, dass nach 69 Jahren die 200 Einwohner noch nicht erreicht sind: E(69) = 100*1,01^69 = 198,689.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo Hoppel-hoppel,
habe in der dritten Gleichung hinter dem senkrechten Strich die Rechenoperation vergessen. Vollständig lautet die Zeile:
log(2) = n*log(1,01) |:log(1,01)
Sorry!
funnyjonny
Das ist richtig, es hat etwas mit der Exponentialfunktion zu tun.
Wenn die Bevölkerung um 1 prozent wächst, kommt man schnell darauf, dass im nach einem Jahr (100 * 0,01)+ 100 einwohner im dorf leben.
Dies kann man umstellen zu:
(1 * 100) + ( 0,01 * 100)
(1 + 0,01) * 100
Nach einem Jahr hat man also 101 Personen.
Nach 2 Jahren wächst die Bevölkerung auch um 1% diesmal ist der Startwert [101]
[(1 + 0,01) * 100] * (1 + 0,01)
Hier ist in den eckigen Klammern die 101 wieder aufgelöst.
Das hab ich getan, damit du siehst, das 2 mal mit dem Startwert malgenommen wird.
also anders (1,01)^2 * 100 für 2 Jahre.
für 50 Jahre wären es (1,01)^50 * 100.
Da du die Jahre nicht weisst:
(1,01)^N * 100 = 200 // :100
(1,01)^N = 2
log2 (1,01) = N
Die meisten Taschenrechner können nur den 10er oder natürlichen logarithmus, allerdings gibts da Formeln zum umformen in andere Basen
Hier gibt es ganz häufig Beispiele unter dem Stichwort Zinseszins.
hi hoppel,
Da Dorf A stabil bleibt kann man die Frage auch so stellen: Wann erreicht Dorf B 200 Einwohner.
Du hast recht mit deiner Vermutung, es handelt sich um exp. wachstum, die dazugehörige Funktion:
y = 100*1,01^x
Jetzt musst du für y 200 einsetzen und nach x auflösen.
richtige Lösung zum vergleichen:
69,7 Jahre
Gruß, oldi
hallo!
im Prinzip ist dies nicht sonderlich schwer, wenn du die Grundrechenarten der exponentialrechnung kennst.
also: 1% pro Jahr bedeutet ja:
nach dem ersten Jahr leben in Dorf B 100*1,01 Einwohner.
nach dem zweiten Jahr sind es dann so viele wie nach dem ersten Jahr (also 100*1,01) und dies wieder mit 1,01 multipliziert -> 100*1,01*1,01, dies entspricht 100*1,01^2
dies geht jetzt immer so weiter, nach „n“ Jahren leben also 100*1,01^n in Dorf B
Die Jahre n sind dir unbekannt, nach n Jahren sollen dort aber 200 Menschen leben, also:
200 = 100*1,01^n |:100
2 = 1,01^n |log
log(2) = log(1,01^n) {Gesetz: log(a^b)=b*log(a)}
log(2) = n * log(1,01) |/log(1,01)
log(2)/log(1,01) = n
n ≈ 69,66 laut Taschenrechner
nach 69,66 Jahren leben in Dorf B also etwa 200 Einwohner. Überprüfen kannst du dies mit
100*1,01^69,66 ≈ 200
Hoffe konnte dir Helfen, fals noch Fragen bestehen melde dich gerne noch einmal.
Mit freundlichen Grüßen!
Hallo,
sorry für die späte Antwort, ich war im Urlaub.
Eigentlich ist es völlig gerade aus, dann wollen wir mal, gleich etwas allgemeiner.
Die Bevölkerungsanzahl in den Döfern sei a.
Dann gilt für jedes Jahr t (t=0 heute, t=1 in einem Jahr, usw.) für Dorf A:
A(t) = a
Für Dorf B gibt:
t=0: B(t)= a
t=1: B(t)= 1.01*a
t=2: B(t) = 1.01*(1.01*a)
…
also:
B(t) = 1.01^t * a
Gesucht ist nun dasjenige t, fur das gilt:
2* A(t) 0 ist, können wir a kürzen (du siehst, die Berechnung funktioniert unabhängig davon, wieviele Leute tatsächlich dort leben):
1.01^t >= 2
Danach nach t auflösen und alles ist gut 