Rechnerisch klar, aber schwer vorstellbar ?

Wissenschaft Mathematik
#1

Woran liegt es?

Ein Jahr Fussball-Liga mit 18 Mannschaften, jeder gegen jeden mit Hin - und Rueckrunde…
das heisst:

9 Spiele pro Spieltag
34 Spieltage
Gibt zusammen 306 Spiele

16 Mannschaften, das heisst:

8 Spiele pro Spieltag
30 Spieltage
Gibt zusammen 240 Spiele

20 Mannschaften, das heisst:
10 Spiele pro Spieltag bei
38 Spieltagen
Gibt zusammen 380 Spiele im Jahr

Jetzt denkt man:

Mit 16 Mannschaften also 240 Spiele pro Jahr
Mit 20 dann 380
Das muesste bei 18 Mannschaften dann das Mittel ergeben, also
380 -240 / durch 2 - also 310 Spiele

Tatsaechlich sind es aber nur 306

Woran liegt es ?

Mike

#2

Jetzt denkt man:

nein, man denkt das nicht

Mit 16 Mannschaften also 240 Spiele pro Jahr
Mit 20 dann 380
Das muesste bei 18 Mannschaften dann das Mittel ergeben, also
380 -240 / durch 2 - also 310 Spiele
Tatsaechlich sind es aber nur 306

woran liegt es ?

wie immer bei deinen Fragen, liegt die „Ungereimtheit“ an dir - hast du das noch nicht gemerkt ?

#3

Ist ja wahr…

wahrscheinlich :smile:

Aber dann hilf mir auf die Spruenge.

Gute Nacht !

#4

Hallo Mike,

es handelt sich um eine nicht lineare Funktion, die die Anzahle der Spiele errechnen kann. Daher kann ein Mittelwert nicht stimmen.

fg

Dirk.P

#5

Danke!

Gibt es noch andere Beispiele in diese richtung?

(Philosophisch betrachtet kann man fragen, weshalb das so schwer vorstellbar ist? Ist der Mensch von seiner Gedankenstruktur her auf „linear“ getrimmt?)

Mike

#6

Moin,

nimm noch eine oder zwei dazu und zeichne Dir die Ergebnisse auf Millimeterpapier: in x-Richtung die Anzahl Mannschaften, in der anderen die Anzahl der Spiele, dann siehst Du, dass dabei keine Gerade rauskommt.

Ein Extrembeispiel für unsere mangelnde Vorstellung, wenn Nichtlinearität ins Spiel kommt, ist die Frage, wie viel Reis benötigt wird, wenn auf das 1. Feld eines Schachbretts 1 Korn gesetzt wird, auf das 2. 2, auf das 3. 4 usw usf., also jeweils die Anzahl verdoppelt wird. Schätz mal erst und rechne dann …

Gruß Ralf

#7

Hallo,

das hat mit weder mit Philosophie noch mit Psychologie was zu tun. Das ist Mathematik. Zu den anderen „Fächern“ bitte in den entsprechenden Foren posten.

fg

Dirk.P

#8

Das mit dem Reis auf dem schachbrett ist zwar auch ein schoenes Bsp. fuer die Unvorstellbarkeit des Endergebnisses.
Doch es ist „quasi“ linear,
denn eine permanente Verdoppelung (mehr nicht) von etwas, das geht noch in der Vorstellung.

#9

Funktion
Hallo,

der Sprung ist die Funktion. Diese ist nicht linear.

Gruß
nicki

#10

der Sprung ist die Funktion. Diese ist nicht linear.

aber auch keine Sprungfunktion

SCNR
Torsten

#11

na, dann stell es dir mal vor (ohne zu rechnen!!). Wieviele Reiskörner brauchst du? Wieviele g/kg/t sind das?
Wenn du das (es ist übrigens ganz und gar nicht linear ) hinbekommst, dann kannst du dir auch vorstellen wieviele Spiele bei wievielen Mannschaften nötig sind:

Mannschaften Spiele
 2 1: AB
 3 3: AB BC AC = 2+1
 4 6: AB AC AD BC BD CD = 3+2+1
 5 10: AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE = 4+3+2+1
 6 mach selber weiter

Gruß, Andreas

#12

Hallo Mike,

der Vollständigkeit - und auch besseren Verständlichkeit - sei mal dieser Weg beschrieben:

M: Anzahl der Mannschaften
SP/ST: Anzahl der Spiele pro Spieltag
SPG: Gesamtzahl der Spieltage
SPIELE: Gesamtzahl der Spiele

Wie von Dir ja alles richtig beschrieben, gilt:

SP/ST = M/2
SPG = 2*(M-1)
SPIELE = SPG * SP/ST = M^2 - M

Hier siehst Du schon, dass es keine lineare Funktion ist. Aber lass uns mal weitersehen:

Nehme ich jetzt M Mannschaften, (M+4) Mannschaften und (M+2) Mannschaften, so erhalte ich:

SPIELE(M+2) = M^2 + 3*M + 2

(SPIELE(M+4) + SPIELE(M)) / 2 = M^2 + 3*M + 6 (

#13

1, 3, 6,10 usw.

Klar

Ich dachte, dass Schach/Reis-Spiel :smile:
ginge so:

Auf eins folgt zwei, folgt 4, 8116 usa…

Mike

#14

Danke!

Na ja wie gesagt, ich fand es interessant, wie sehr das „mathematische Gefuehl“ von der Realitaet abweichen kann.

Hat noch jemand so ein Bsp. aus dem alltaeglichen Lenben?

Mike

#15

Das zeigt, dass beides nicht linear ist:
Auf dem 32. Schachfeld liegen nicht halb so viele Reiskörner wir auf dem 64.
20 Mannschaften brauchen nicht doppelt so viele Spiele wie 10.

Gruß, Andreas

#16

Hallo,

gerne - mein Lieblingsbeispiel:

Ein Gurke mit 99% Wassergehalt wird getrocknet auf 98% Wassergehalt:
Wie viel Gurke hast Du dann in/auf der Hand?

Gruß pda

#17

Hi,

Hat noch jemand so ein Bsp. aus dem alltaeglichen Lenben?

der Bremsweg beim Auto ist z.B. eine nicht lineare Funktion, hier findest du die Formel dafür.
https://de.wikipedia.org/wiki/Bremsweg#Berechnungen_…

Die Verzögerung a ist konstant, egal welche Geschwindigkeit v du einsetzt. Setzt du für v 100, 75 und 50km/h ein, wirst du feststellen, dass der Bremsweg bei 75km/h nicht der Mittelwert der Bremswege bei 50 und 100km/h ist.

Gruß

rantanplan

#18

Das ist ein schoenes Bsp. !!!

#19

Hmmm…

Du meinst sicher das Gewicht der Gurke?
Also sagen wir urspruenglich 1 Kilo schwer mit 99 Prozent Wasser.
Und jetzt?

#20

Hallo,

heute um drei Uhr nachts hat das Außenthermometer 0 °C angezeigt, gestern um dieselbe Zeit 2 °C. Preisfrage: Wie groß war die Außentemperatur gestern um 15 Uhr? Hier ist auch intuitiv klar, dass man darauf nicht „1 °C“ antworten kann, mit der Begründung, dass 15 Uhr der Zeitpunkt genau dazwischen ist und deshalb auch die Temperatur genau dazwischen liegen muss. Diese Argumentation wäre natürlich ungültig, weil die Temperaturkurve im Zeitraum eines Tages nicht linear verläuft, sondern – pauschal betrachtet – wie eine (Periode einer) Sinuskurve.

Anders sieht es dagegen aus, wenn man die Temperaturen um 15 Uhr und 16 Uhr kennt, und nach der um 15:30 Uhr fragt. Da die Temperaturkurve in einem so kleinen Zeitintervall ungefähr linear verläuft, wäre der arithmetische Temperaturmittelwert als näherungsweise Antwort zulässig.

Gruß
Martin