Wie zerlegt man ein Rechteck mit den Seitenlängen 9 und 16 in zwei Teile, sodass man aus den beiden Teilen ein Quadrat zusammensetzen kann?
Für welche andere Rechtecke kann man das gleiche tun?
Wie zerlegt man ein Rechteck mit den Seitenlängen 9 und 16 in
zwei Teile, sodass man aus den beiden Teilen ein Quadrat
zusammensetzen kann?
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Den „0“ - Bereich drei Felder nach unten und vier nach links schieben - fertig !
Für welche andere Rechtecke kann man das gleiche tun?
Och, da kann man bestimmt jede Menge finden - Voraussetzung ist nur, dass die beiden Rechteckseiten, miteinander multipliziert, eine Quadratzahl ergeben. Einfachstes Beispiel: Rechteck 1x4 wird zu Quadrat 2x2.
Hallo Hariolf,
Och, da kann man bestimmt jede Menge finden - Voraussetzung
ist nur, dass die beiden Rechteckseiten, miteinander
multipliziert, eine Quadratzahl ergeben. Einfachstes Beispiel:
Rechteck 1x4 wird zu Quadrat 2x2.
Da muss ich widersprechen. Dass das Produkt der Seitenlängen eine Quadratzahl ergibt, ist weder notwendig noch hinreichend für eine solche Zerlegung.
Sie ist nicht notwendig , weil sich z.B. das Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 9/16 nach der von dir vorgeschlagenen Weise in ein Quadrat mit Seitenlänge 3/4 umformen lässt, obwohl 9/16 keine Quadratzahl ist.
Hinreichend ist diese Bedingung deshalb nicht, weil beispielsweise das Rechteck (1, 100) die Fläche 100 hat (100 is eine Quadratzahl), aber dieses Rechteck mitnichten in ein Quadrat umgeformt werden kann (zumindest nicht durch Zerlegen in nur zwei Teile).
Ich behaupte: Die Menge M der Rechtecke, für die eine Zerlegung möglich ist, ist gegeben durch
M={(a,b) : a/b∈V} mit
V={ v : ∃ n∈N : v=(n/(n+1))^2 },
d.h. alle Rechtecke, deren Seitenverhältnis (n/(n+1))^2 (n natürliche Zahl) beträgt.
Die Zahl n bestimmt die Anzahl der „Treppenstufen“ der Zerlegung. Die Stufenhöhe ist gegeben durch den n-ten Teil der kürzeren Rechteckseite, und die Stufenbreite ist durch den (n+1)-ten Teil der längeren Rechteckseite gegeben.
Wenn a
**x = (n +1)*c = (n+1)*a/n und
y = (n+1-1)*d = n*b/(n+1).
Wegen a=b*(n/(n+1))^2 folgt
x = (n+1)\*b\*(n/(n+1))^2/n
= (n+1)/(n+1)^2\*b\*n^2/n
= n\*b/(n+1)
= y,
womit gezeigt ist, dass das neue Rechteck tatsächlich ein Quadrat ist.
Ein formaler Beweis, dass Rechtecke mit anderen Seitenverhältnissen nicht zu einem Quadrat umgeformt werden können, scheint mir nicht so einfach zu sein. Anschaulich ist mir das klar, aber mir fehlt die Idee für einen strengen Beweis.
Übrigens ist die Fläche des Quadrats genau dann eine Quadratzahl, wenn die kürzere Rechteckseite ein ganzzahliges Vielfaches von n ist. Dies sieht man anhand der Gleichung x=(n+1)*a/n.
Viele Grüße
Jens**
Auch wieder richtig …
Da muss ich widersprechen. Dass das Produkt der Seitenlängen
eine Quadratzahl ergibt, ist weder notwendig noch hinreichend
für eine solche Zerlegung.
Stimmt. Ich bin mal davon ausgegangen, dass es sich um ganzzahlige Seitenlängen handelt. Ich weiss nicht, ob es in der Original-Aufgabenstellung so gemeint war, aber ausdrücklich verlangt war es hier ja nicht.
Hinreichend ist diese Bedingung deshalb nicht, weil
beispielsweise das Rechteck (1, 100) die Fläche 100 hat (100
is eine Quadratzahl), aber dieses Rechteck mitnichten in ein
Quadrat umgeformt werden kann (zumindest nicht durch Zerlegen
in nur zwei Teile).
stimmt auch …
Wie zerlegt man ein Rechteck mit den Seitenlängen 9 und 16 in
zwei Teile, sodass man aus den beiden Teilen ein Quadrat
zusammensetzen kann?
geometrisch!
Ähnlichkleitsabbildung:
mit dem Höhensatz:
Zeichne das Quadrat so auf das die längere seite waagrecht ist (nur zur besseren Orientierung) etwa so:
D C
|------------------------|
A B
Kreis um D mit Radius d. Strecke DA
Verlängerung d. Strecke DC nach links
Schnittpunkt Kreis mit Verlängerung d. Strecke DC sei E
Mittelpunkt der Strecke EC
Kreis um den Mittelpunkt (Thaleskreis)
Verlängerung d. Str. DA
Schnittpunkt Kreis mit Verlängerung d. Strecke DA sei F
Quadrat hat die Seitenlänge d. Str. DF
jetzt kannst du das Quadrat in 2 Teile teilen
Das ganze geht auch noch mit dem Kathetensatz.
Alles frisch aus Mathe (9. Klasse Gymnasium) 
Für welche andere Rechtecke kann man das gleiche tun?
mit jedem!