Ich hatte mit Mathematik bis zum Abitur kaum Vergnügen. Vielleicht deshalb, weil kein Mensch einem verständlich macht, was man wissen will. Deshalb jetzt meine Verständnisfrage: Egal, wie viele Zahlen zwischen zwei andere auf der Zahlengeraden liegende Zahlen passen, warum nicht auch unendlich viele; das ist ja wohl nur eine Frage, wie klein man das Intervall macht, wie weit man sozusagen die Blende schließt. Also, das sei einfach mal egal. Die Ordnung auf der Zahlengeraden ist eine nach dem Zahlenwert. Der Wert steigt von Null nach Unendlich, sei das nun abzählbar oder nicht abzählbar. Graphisch dargestellt: Vom Nullpunkt links auf der Geraden nach rechts. Lassen wir mal komplexe Zahlen, die in den von X- und Y-Achse gebildeten Quadranten liegen, außer Betracht. Also, die Zahlenwerte werden auf der X-Achse nach rechts zu größer. Und jede Zahl hat einen Nachfolger, gleich, welcher Kategorie die Zahl, um deren Wert es geht, entstammt. Ist das so oder irre ich mich da? Wenn nicht, fahre ich fort: Ist es so, dass jede Zahl, wie klein sie auch sei, einen Nachfolger auf der Zahlengeraden hat? Falls ja: Wie heißt diejenige Zahl, die als absolut nächste nach Pi auf der Zahlengeraden angesedelt ist, bzw. wie wird sie definiert? Pi plus Unbekannt? Das war meine Frage. Vielen Dank, dass jemand mir eine Antwort gibt, ohne über meine Dummheit zu lachen.
Hallo Tomatosoup,
Ist es so, dass jede Zahl, wie klein sie auch sei, einen
Nachfolger auf der Zahlengeraden hat?
Nein. Genau darum geht es bei der Aussage, dass die reellen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden liegen und dass, wie du schon sagst, zwischen zwei beliebigen Zahlen unendlich viele weitere liegen.
Wie willst du den Nachfolger von Pi bestimmen? Du müsstest dazu die letzte Stelle um eins erhöhen – nur hat eine irrationale Zahl eben keine letzte Stelle.
Nenn mir eine beliebig kleine Zahl, die du hinzuaddieren willst, um den Nachfolger zu erhalten. Es wird immer eine noch kleinere Zahl geben.
Gruß,
Kronf
moin;
möchte auch mal was dazu sagen, weil sonst möglicherweise ein falscher Eindruck entsteht:
Dass jede Zahl einen Nachfolger hat, gilt für die natürlichen Zahlen, denn so sind sie grade definiert (siehe Peano-Axiome). Im reellen kann man sich ein solches Konstrukt wie einen Nachfolger zwar definieren, aber es stimmt hier in keinem Fall, dass zwischen einer Zahl und ihrem Nachfolger keine weitere Zahl liegen kann (zwischen zwei ungleichen reellen Zahlen liegen immer überabzählbar viele weitere reelle Zahlen).
Daraus kann man eigentlich schon herleiten, dass es keine solche Zahl wie „die nächste nach Pi“ gibt, weil jede, die du mir geben könntest: ich gebe dir ohne Probleme eine weitere, die zwischen Pi und deiner Zahl liegt.
Nicht einmal mit einer Grenzwertbetrachtung (Pi+1/n, lim n->oo beispielsweise) kommen wir hier weiter: Für endliche n gibt es weitere Zahlen, die zwischen den beiden Zahlen liegen, und sobald wir im Unendlichen verschwinden, wird die Differenz 0, d.h. wir betrachten zwei identische Zahlen.
mfG
Moin,
Dass jede Zahl einen Nachfolger hat, gilt für die natürlichen
Zahlen,
nur um die Aussage völlig korrekt zu machen:
Gilt für die Ganzen Zahlen.
Die Natürlichen Zahlen sind ja nur eine Teilmenge der Ganzen Zahlen.
Gandalf
Im Prinzip ist schon alles gesagt, aber noch nicht von allen.
Nehmen wir mal an, Du findest den Nachfolger x1 der Zahl x0.
Was hindert mich dann die Zahl x2 := (x0 + x1)/2 zu definieren. Sie ist echt größer als x0 und echt kleiner als x1. Vielleicht ist ja auch x2 der Nachbar von x0, aber dann gibt es x3 := (x0 + x2)/2 = (x0 + (x0 + x1)/2)/2 usw.
Michael
hi,
Nehmen wir mal an, Du findest den Nachfolger x1 der Zahl x0.
Was hindert mich dann die Zahl x2 := (x0 + x1)/2 zu
definieren. Sie ist echt größer als x0 und echt kleiner als
x1. Vielleicht ist ja auch x2 der Nachbar von x0, aber dann
gibt es x3 := (x0 + x2)/2 = (x0 + (x0 + x1)/2)/2 usw.
das wäre ein „beweis“, dass schon die rationalen zahlen ein kontinuum darstellen.
tatsächlich findest du auf die beschriebene weise zu zwei rationalen zahlen (bruchzahlen) immer eine weitere, die echt zwischen ihnen liegt. trotzdem macht das aber noch kein kontinuum aus, da man beweisen kann, dass es auf der zahlengeraden punkte gibt, die nicht als bruch darstellbar sind.
die rationalen zahlen / bruchzahlen entsprechen den endlichen oder periodischen dezimalzahlen. es gibt aber dezimalzahlen, die nicht endlich und nicht periodisch sind. (was heißt schon „es gibt“? sie sind vorstellbar.) das sind die sogenannten irrationalen zahlen. wurzel aus 2 (die länge der diagonale eines quadrats der seitenlänge 1), pi (das „verhältnis“ aus umfang und durchmesser eines kreises), e (eine art „natürlicher wachstumsfaktor“) gehören dazu. erst mit diesen irrationalen zahlen entsteht das kontinuum.
m.