Reihen, Folgen

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

Guten Tag, ich hätte 2 Aufgabe zu Reihen und Folgen, welche ich nicht lösen kann:

1)In der geometrischen Reihe sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)+… bedeuten x und y die Koordinaten eines Punktes in der xy-Ebene. Wo liegen alle Punkte, für welche die Summer der Reihe 1 ist??

⇒ Die Formel von geometrischen REihen ist bekannt aber wie löse ich diese Aufgabe?

2)Wenn die Folgen a(n) , b(n) , a(n) + b (n) die Folgen a(n) und a(n)+b(n) aritmetische Folgen sind, dann ist auch b (n) eine arimetische Folge.

Wie kann ich dies beweisen???

Ich wäre sehr dankbar, wenn Sie mir helfen könnten. Ich bräuchte dringend Hilfe dazu, da ich nächste Woche wichtige Prüfungen habe.

Vielen herzlichen Dank!

Freundliche Grüsse,

Thomas Matter

#2

1)In der geometrischen Reihe sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)+…
bedeuten x und y die Koordinaten eines Punktes in der
xy-Ebene. Wo liegen alle Punkte, für welche die Summer der
Reihe 1 ist??

Heißt die Reihe evtl.
sin(x)+y⋅sin(x)+y^2⋅sin(x)+…
?

2)Wenn die Folgen a(n) , b(n) , a(n) + b (n) die Folgen a(n)
und a(n)+b(n) aritmetische Folgen sind, dann ist auch b (n)
eine arimetische Folge.

Bitte was?

#3

Sehr geehrter Herr Matter,

Sind Sie bei der Angabe der Reihe sicher? Mir ergibt sich aus dieser Angabe keine logische Fortsetzung der Reihe. Eine geometrische Reihe hat dabei die form \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \frac{a_0}{1-q}.
Sollte sich die angegebene Reihe also so fortsetzen, dass gilt
y sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)⋅y3⋅sin(x)+…
so ist dies keine strenge geometrische Reihe mehr, da a_0 nicht konstant. Auch wäre das seltsam, da die anzugebenden Punkte unabhängig von x2 etc. wären.

Sinn machen würde eine Summe wie \sum_{k=1}^{\infty}x^k*\sin^k(x)=\frac{1}{1-(y\sin(x))}\overset!=1\Rightarrow y\sin(x)\overset!=0

Ist die Formel tatsächlich wie von Ihnen angegeben, kann ich Ihnen hier leider nicht weiterhelfen.

Zur 2):
In einer arithmetischen Folge gilt, dass der Abstand zweier benachbarter Elemente konstant bleibt.
Wir betrachten nun die beiden Konstanten da und dab mit da:=a(1)-a(0)=a(i+1)-a(i), da a(n) arithm. Folge und dab:=(a(1)+b(1))-(a(0)-b(0))=(a(i+1)+b(i+1))-(a(i)+b(i)) da a(n)+b(n) arithm. Folge.
nun ist dab=(a(i+1)+b(i+1))-(a(i)+b(i))=a(i+1)+b(i+1)-a(i)-b(i)=(a(i+1)-a(i))+(b(i+1)-b(i))
dab ist konstant. (a(i+1)-a(i))=da ist auch konstant. Daher muss (b(i+1)-b(i))=:db auch konstant sein.
Dies ist nun genau die Differenz zweirer benachbarter Elemente in b(n), also ist b(n) auch arithm. Folge.

Mit freundlichen Grüßen
Julian

#4

VIelen Dank für die Hilfe,

zu 1) ja ich habe ein Fehler gemacht:

sin(x)+y⋅sin(x)+ y^2⋅sin(x)+y^3⋅sin(x)+… so lautet die Reihe…

… mehr auf http://www.wer-weiss-was.de/app/query/display_query?..

Sehr geehrter Herr Matter,

Sind Sie bei der Angabe der Reihe sicher? Mir ergibt sich aus
dieser Angabe keine logische Fortsetzung der Reihe. Eine
geometrische Reihe hat dabei die form \sum_{k=0}^{\infty} a_0
q^k = \frac{a_0}{1-q}.
Sollte sich die angegebene Reihe also so fortsetzen, dass gilt
y sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)+y⋅sin(x)⋅y2⋅sin(x)⋅y3⋅sin(x)+…
so ist dies keine strenge geometrische Reihe mehr, da a_0
nicht konstant. Auch wäre das seltsam, da die anzugebenden
Punkte unabhängig von x2 etc. wären.

Sinn machen würde eine Summe wie
\sum_{k=1}^{\infty}x^k*\sin^k(x)=\frac{1}{1-(y\sin(x))}\overset
!=1\Rightarrow y\sin(x)\overset!=0

Ist die Formel tatsächlich wie von Ihnen angegeben, kann ich
Ihnen hier leider nicht weiterhelfen.

Zur 2):
In einer arithmetischen Folge gilt, dass der Abstand zweier
benachbarter Elemente konstant bleibt.
Wir betrachten nun die beiden Konstanten da und dab mit
da:=a(1)-a(0)=a(i+1)-a(i), da a(n) arithm. Folge und
dab:=(a(1)+b(1))-(a(0)-b(0))=(a(i+1)+b(i+1))-(a(i)+b(i)) da
a(n)+b(n) arithm. Folge.
nun ist
dab=(a(i+1)+b(i+1))-(a(i)+b(i))=a(i+1)+b(i+1)-a(i)-b(i)=(a(i+1)
-a(i))+(b(i+1)-b(i))
dab ist konstant. (a(i+1)-a(i))=da ist auch konstant. Daher
muss (b(i+1)-b(i))=:db auch konstant sein.
Dies ist nun genau die Differenz zweirer benachbarter Elemente
in b(n), also ist b(n) auch arithm. Folge.

Mit freundlichen Grüßen
Julian

#5

achso.
dann ist a_0=sin(x) und es kommt sowas raus wie
\sum_{i=0}^\infty \sin(x)y^i=\frac{\sin(x)}{1-y}\overset!=1\Rightarrow y=1-\sin(x)

In Koordinatenform wäre dass dann sowas wie ( x | 1-sin(x) ).

#6

vielen dank . noch eine Frage: Wie kann man diese lösen, wenn man y nicht kennt???

#7

Ich denke, da haben Sie meine Lösung falsch verstanden.

Wenn nach einer Allgemeinen Menge von Punkten mit 2 Koordinaten gefragt ist, drückt man eine der Koordinaten durch die andere aus.

Nach meiner Lösung wäre ein Punkt Teil der Lösungsmenge, wenn man x beliebig wählt und dazu das y mit 1-sin(x) ausrechnet.
beispielsweise wäre x=pi und y=1-sin(pi)=0 ein Lösungspunkt.
setzt man also (pi|0) in die geometrische Reihe ein, erhält man sin(pi)*0^0+0^1+0^2+0^3…=sin(pi)=1 (mit 0^0=1).
Zu beachten ist noch, dass keine x benutzt werden dürfen, bei denen sin(x)=0, da die Gleichung sonst niemals 1 ergibt.

Als Lösung der Aufgabe würde ich also angeben, dass die Punkte bei (x,1-sin(x)) mit x!= n*pi mit n ganzzahlig liegen.

#8

Die erste Aufgabe verstehe ich nicht, vielleicht ist da irgendetwas falsch geschrieben (⋅ statt +?).
Zur zweiten Aufgabe:
Wenn a(n) eine arithmetische Folge ist, muss die Differenz a(n+1)-a(n) für alle n konstant sein (z. B. gleich d1). Dasselbe gilt für a(n)+b(n). Dann lässt sich die Differenz b(n+1)-b(n) leicht ermitteln.

#9

Hallo Thomas,

ich hoffe, ich löse hier nicht Deine Hausaufgabe…
Ich finde, die Frage 1 ist komisch notiert - ist so (für mich) nicht zu verstehen.
Zu 2.) Gemäß der Annahme gilt

(1) a(n+1)-a(n)=c_1 und
(a(n+1)+b(n+1))-(a(n)+b(n))=c_2
a(n+1)-a(n)+b(n+1)-b(n)=c_2
c_1+b(n+1)-b(n)=c_2
b(n+1)-b(n) = c_2 - c_1 = c_3 .

Ich hoffe, da hilft.

Gruß
Bastian

#10

Zu 1)
sin(x) + y*sin(x) + y^2*sin(x) + … =
sin(x) * 1 / (1-y) = 1

=> y = 1 - sin(x)
d.h. alle Punkte des obigen Graphen erfüllen die Bedingung!

zu 2)
Arithmetische Folge heißt, die Differenz zweier Folgenglieder ist konstant.
Also es ist:
a(n+1) - a(n) = c
und
a(n+1) + b(n+1) - (a(n) + b(n)) = d

Dann gilt
b(n+1) - b(n) = d - c also auch konstant!

#11

Hallo Thomas,

ich habe das Gefühl, dass die erste Reihe nicht vollständig ist, oder dass ich sie nicht verstanden habe. Ist y2 y_2 oder y^2? Ist vielleicht ein Tippfehler in deiner Reihe, und du meinst
sin(x) + y sin(x) + y_2 sin(x) + …?

Bei der zweiten, versuch mal zu beweisen: wenn x(n) und y(n) arithmetische Folgen sind, dann ist x(n)-y(n) auch eine arithmetische Reihe. Dann sollte dir das Ergebnis ganz leicht rausfallen :smile:

Freundliche Grüße,

Paul