Hallo,
bei einer gesamten Wahrscheinlichkeit von über 50% muss die
Einzelwahrscheinlichkeit deutlich über 99% liegen.
Das dachte ich auch. Ist aber nicht so. Die Wahrscheinlichkeit des einzelnen wird nicht erhöht, sie wird nur für alle „gleichgeschaltet“.
Grüße
Andreas
Hallo!
setzt aber eine zyklischer Verteilung vorraus und keine
zufällige!!
Zufällige Verteilungen sind immer zyklisch. Es kann sein, dass es mehrere Zyklen sind, aber es sind immer Zyklen. Ist doch logisch.
Hallo,
Zufällige Verteilungen sind immer zyklisch. Es kann sein, dass
es mehrere Zyklen sind, aber es sind immer Zyklen. Ist doch
logisch.
genau: Jede zufällige Anordnung der Pässe in den Tresoren ist automatisch (vollständig!) partitioniert in Zyklen. Alle Personen, die in unserem Beispiel einen Zyklus der Länge 61 oder kleiner „treffen“ (durch das Öffnen ihres Starttresors mit der eigenen Nummer), finden ihren Pass sicher. Nur wenn ein Zyklus der Länge 62 oder mehr existiert, finden viele Personen ihren Pass nicht, und die gesamte Gruppe verliert das Spiel. Das liefert auch einen Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Man muss den Anteil der Permutationen der 100 Pässe bestimmen, die keinen Zyklus mit einer Länge von mehr als 61 enthalten.
Andreas
Morgen,
aber es gibt doch mindestens 61% Treffer!!
du bringst da etwas durcheinander. Wovon du hier sprichst, ist so etwas wie der Erwartungswert für die Anzahl der Treffer.
Bei dem Rätsel geht es aber darum, dass die 100 Personen nur gewinnen/nicht gefressen werden/freikommen, wenn jeder (!) seinen Pass findet (im Original, das Beat verlinkt hat, wird das etwas deutlicher als in seiner Reformulierung, aber auch dort steht es drin). Und für diesen Sieg ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen bzw. durch eine gute Strategie zu maximieren.
Andreas
Spoiler: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Man muss den Anteil der Permutationen der
100 Pässe bestimmen, die keinen Zyklus mit einer Länge von
mehr als 61 enthalten.
Ich zitiere mal zur Vereinfachung direkt den entsprechenden Abschnitt des Artikels (eigene Übersetzung):
Wir können jede Permutation der Zahlen in den Schließfächern durch eine Liste der Zyklen repräsentieren. Die Permutation 6,8,9,7,2,4,1,5,10,3 ergibt die Zyklen (6, 4, 7, 1) (8, 5, 2) (9, 10, 3), und Team B [die Personen, die ihre Pässe finden müssen, hier 10 Stück] gewinnt, weil es keinen langen Zyklus gibt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass Team B gewinnt, zählen wir die Anzahl der Permutationen von 10 Zahlen mit einem Zyklus der Länge 6 oder länger. Zählen wir zunächst, wieviele einen 6-Zyklus haben: Man ziehe 6 Elemente für den Zyklus, ordne sie zyklisch an und wähle dann eine beliebige Permutation der übrigen 4 Elemente. Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, beträgt
(10 über 6) 5! 4! = (10! 5! 4!)/(6! 4!) = 10!/6
Also hat 1/6 der 10! Permutationen einen 6-Zyklus, und eine zufällige Permutation hat einen 6-Zyklus mit der Wahrscheinlichkeit 1/6. Analog lassen sich die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass eine zufällige Permutation Zyklen der Länger größer 6 enthält.
Andreas
Hi Thomas,
Ich verstehe nicht, wie die Erfolgsw’keit beispielsweise des
ersten Teilnehmers überhaupt grösser als 61% sein kann.
kann sie nicht (und muss sie nicht), wie Andreas Hillerkus schon richtig angemerkt hat. Es geht nur darum, die Wahrscheinlichkeit von 61% nicht so drastisch sinken zu lassen wie bei total zufälligem Öffnen der Tresore, also der Unabhängigkeit der Ereignisse (dann hätte man ja 0,61^100 als W’keit).
Aber vielleicht hast du bei den Ketten/Zyklen noch ein Verständnisproblem:
Um es in den von dir erwähnten Ketten auszudrücken:
Es ist nicht gerade unwahrscheinlich, dass der erste
Teilnehmer „seine“ Kette durchläuft
Jeder Teilnehmer durchläuft immer (!) die Kette, in der seine eigene Nummer vorkommt.
und sein Pass entweder nicht dabei ist
Der Fall kann nicht auftreten.
oder die Kette zu lang ist
Genau, das ist der Fall, in dem die Person ihren Pass nicht findet: Sie kann nicht genügend Schritte in dem Zyklus „gehen“, um ihren Pass zu erreichen.
und er ungünstig gestartet ist.
Jeder Teilnehmer startet in diesem Sinne (wenn ich dich richtig verstehe) maximal ungünstig in seinem Zyklus, denn sein eigener Pass liegt vom Einstieg aus betrachtet ganz am Ende (nämlich an der Position vor dem Einstieg). Jede der k Personen, die in einem k-Zyklus enthalten ist, muss also mit der Strategie auch genau k Tresore öffnen, um den Zyklus einmal zu „umrunden“.
Andreas
Alles klar.
Hallo,
danke für die ausführlichen Erklärungen.
Demnach beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 1- (1/62+1/63+…+1/100), was knapp über 0,5 ergibt.
Entweder finden alle ihren Pass, oder es finden mindestens 62 ihren Pass nicht.
Gruss,
TR
Nachtrag
Die Pässe nicht haben, sondern sagen können, in welchem
Schliessfach er ist.
naja,wenn nur gesagt werden muss wo der Reisepass ist,ist es einfach!
weil dann suchen 1+2 die Pässe von 1+2 und sagen es dem anderen
da reichen schon 50…
weil dann suchen 1+2 die Pässe von 1+2 und sagen es dem
anderen
da reichen schon 50…
Hallo
Gesprochen wird nur vorher. Im Schliessfachraum ist jeder allein oder spricht mit niemandem.
Die Lösung scheint kompliziert zu sein.
Es kann sein, dass ein Fach zweimal geöffnet wird, obwohl schon ein Treffer da war.
Ein zyklisches Vorgehen kann die Trefferquote erhöhen.
100% scheint niemand Beweisen zu können, aber 93% scheinen mir nicht unmöglich.
Gruss
Beat