Rekonstruktion einer Funktionsgleichung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

wir machen in Mathe gerade Rekonstruktionsaufgaben und müssen anhand eines Textes die Gleichung herausfinden.
Bei meinen Hausaufgaben bin ich mir allerdings nicht sicher, ob mein Ergebnis richtig ist.

Hier erstmal der Text:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1 und ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Hier ist mein Ergebnis: y=-[5/6]X³+0,5X²+0,5

Ich würde mich freuen, wenn ihr sagen könntet, ob das Ergebnis richtig ist oder nicht. Falls nicht, würde ich mich natürlich über eine Erklärung freuen.

Vielen Dank im Voraus :smile:
diekaddi

#2

moin;

tut mir leid dir das zu sagen, aber deine Funktion ist falsch.
Sie läuft nicht einmal durch den Punkt (1,1), kann also logischerweise die Winkelhalbierende dort nicht berühren.

Der Ansatz, den du wahrscheinlich auch verfolgt hast:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f’(x)=3ax²+2bx+c
f’’(x)=6ax+2b

berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1

f(1)=1=a+b+c+d
berühren erfordert gleiche Steigung, also
f’(1)=1=3a+2b+c

ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5)

f(0)=0,5=d
Änderung des Krümmungsverhaltens erfordert einen Wendepunkt, also Nullstelle der zweiten Ableitung:
f’’(0)=0=2b

Mit diesen vier Gleichungen kannst du dir a,b,c und d berechnen und hast damit die Funktionsgleichung.

mfG

P.S.: d war schon korrekt :wink:

#3

Vielen Dank schon mal für deine Antwort und ja, den Ansatz habe ich genauso. Das Ergebnis für d ist 0,5 ; das habe ich richtig, aber dann habe ich:

f’(0)= 0 -> c = 0 für den Punkt (0/0,5) und
f’(1)= 0 -> 3a+2b+c = 0 für den (1/1) und
f(1)= 1 -> 6a+2b = 1 für den Punkt (1/1).

Zusammengefasst also:
d = 0,5
c = 0
3a+2b = 0
6a+2b = 1

Was genau hab ich denn da falsch gemacht?

#4

moin;

f’(1)= 0

warum? die Funktion soll den gleichen Anstieg wie die Winkelhalbierende haben, also 1.

f(1)= 1 -> 6a+2b = 1

nee. f(x)=ax³+bx²+cx+d
also f(1)=a+b+c+d

aus der Bedingung f’’(0)=0 ergibt sich übrigens schon b=0.

mfG

#5

OK, jetzt hab ich´s einigermaßen verstanden.
–> Danke :smile:

#6

Genereller Tipp: Immer sehr systematisch vorgehen:

Funktion n. Grades: Sie hat 4 Koeffiziernten und es müssen sich dazu 4 Gleichenungen im Text finden lassen.

Wenn es darum geht, wo die Funktion durchläuft, wird in die Originalfunktion eingesetzt,
wenn es um Steigungen geht, wird die erste Ableitung gebraucht.
Bei WP die 2. Ableitung

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Also ax³ + bx² +cx +d
4 Koeffizienten, 4 Bedingungen nötig.

berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1

Aha:
geht durch 1|1 und hat bei x=1 die Steigung 1

und ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5).

Aha:
geht durch 0|0,5 und hat bei x=0 einen WP.

Damit hat man dann alle 4 Bedingungen beisammen und kann sie in die Funktion bzw. die jeweilige Ableitung einsetzen. …