Meine Frage:
Es geht um folgende Rekursionsformel: Sn = Sn-1 +6(n-1)
Aus dieser Formel soll nun eine explizite Formel entwickelt werden!
Meine Ideen:
Ich bin durch das Aufmalen von Sechseckzahlen dann auf die Formel
S(n) = n (2n-1) gekommen! Ist dies eine explizite Formel? Nur leider ist sie nicht aus der rekursiven entwickelt worden!
Weiß jemand Rat?
hi,
Es geht um folgende Rekursionsformel: Sn = Sn-1 +6(n-1)
- wobei das Sn und das Sn-1 als Index zu lesen sind.
also S(n) = S(n-1) + 6 (n-1)
das ist eine rekursionsformel für die „sechseckzahlen“ in dem sinn, dass die zahl die anzahl aller punkte darstellt, die ein „volles sechseck“ bilden.
problem dabei: es fehlt die erste sechseckzahl. ohne die ist die rekursionsformel nicht brauchbar.
also brauchen wir noch: S(1) = 1.
folge: 1: 7; 19; 37; 61; …
Aus dieser Formel soll nun eine explizite Formel entwickelt
werden!Meine Ideen:
Ich bin durch das Aufmalen von Sechseckzahlen dann auf die
Formel
S(n) = n (2n-1) gekommen!
das ist die allgemein nachschaubare rekursionformel der sechseckzahlen in dem sinn, dass du ein sechseck außen durch einen weiteren umriss um ein weiteres sechseck ergänzt. das ist aber dann i.a. kein „volles“ sechseck mehr.
die liefert aber eine andere zahlenfolge als die durch die rekursionsformel definierte, nämlich:
1; 6; 15; 28; 45; …
Ist dies eine explizite Formel?
ja.
Nur leider ist sie nicht aus der rekursiven entwickelt worden!
Weiß jemand Rat?
zunächst einmal: was genau verstehst du unter sechseckzahlen?
i.a. versteht man darunter die zahlen, die entstehen, wenn man zu einem regelmäßigen sechseck einen sechseckumriss außen dazumalt. das gibt dann i.a. kein „volles“ sechseck.
naja: wenn du eine sechseckzahl mit index n-1 hast, dann entsteht das nächste sechseck dadurch, dass du
a) jeweils links und rechts n punkte dazu malst
b) unten links in der schräge n-1 punkte dazu malst
c) unten rechts in der schräge n-2 punkte dazu malst.
also wär das:
S(n) = S(n-1) + 2*n + n-1 + n-2 = S(n-1) + 4n - 3
das ist die rekursionsformel, die als explizite formel die von dir o.a. ergibt.
dass mit dieser rekursionsformel auch
S(n) = n (2n-1)
gegeben ist, beweist man z.b. durch vollständige induktion.
hth
m.