Rekursiv definierte Zahlen + Vollst. Induk

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Morgen Leute,
Ich bin neu hier bei www . Einer meiner Kommilitonen hat mir diese Seite empfohlen, da er anscheinend gute Erfahrungen hier gesammelt hat. 
Also ich studiere CIW , lerne gerade für Höhere Mathematik I und wollte euch um Hilfe bitten.

Die Aufgaben : http://de.tinypic.com/view.php?pic=2d10615&s=5#.Uo1N…Also die Teilaufgabe (a) habe ich bearbeitet . Ich bin mir wegen der Lösung nicht sicher, da ich für dieses Themengebiet eigenständig lernen musste und nicht wusste, ob ich evtl. „etwas“ missverstanden habe. 

Lösung (a) : 11 a ) x1 := 0 => x1:= (1/2) * (1- (0)²) = 0,5

                               x2 : …(1-(0,5)²) = 0,375

… (Xn) n ∊ |N = {0; 0,5 ; 0,375 ; 55/128 ; ca. 0,407 … }

Vollst. Induktion (IA) : 0 ≤ 0,5 ≤ 0,5

(IV) : Sei [0 ≤ Xn ≤ 0,5] wahr …

(IS) : 0 ≤ Xn ≤ 0,5 | ² => 0² ≤ Xn ² ≤ 0,5² | * (- 1 )

=> - (0,5)² ≤ - (Xn)² ≤ 0 | +1 => 0,75 ≤ 1-(Xn)² ≤ 1 | * (1/2)

=> 0,375 ≤ (1/2) * ( 1- (Xn)² ) ≤ 0,5 q.e.d 

Bei der Teilaufgabe (b), weiß ich nicht wie ich vorgehensoll .
Ihr könntet mir helfen indem ihr mir hilfreiche links zur Verfügung stellt, eigene Tipps gebt, 
evtl. Rechenschritte selber zeigt … je nachdem, was euch nicht „zu“ aufwändig ist und mir hilfreich ist. Dies ist eine Bitte und keine Aufforderung -_- :smiley:

#2

Guten Tag

a) ist richtig, bis auf einen Schreibfehler, es ist x[0]=0, nicht x[1].

zu b) Subtrahiere die Rekursionsgleichungen für x[n+1] und x[n] und wende die dritte binomische Formel an.

Gruß, Lutz

#3

Herr Lehmann,
Ich entschuldige mich dafür, dass ich bei der Teilaufgabe (b) trotz Ihrer Hilfe nicht weiterkomme.Ich zeige Ihnen wie ich vorgegangen bin .

Zunächst mal wollte ich gucken, ob die Informationen stimmen ! Also habe ich mal für n ganz spontan die zwei eingesetzt => | 3 - 2 | ≤ (1/2) * | 2 - 1| => 1 ≤ 1/2
egal welche Zahl ich für Xn einsetze, es kommt immer auf das gleiche hinaus und das stimmt nicht … ich meine 1 ist doch nicht kleiner/gleich 1/2 …wo mache ich den Fehler oder habe ich eher Verständnis Probleme? Ich hänge schon seit Stunden an dieser Aufgabe und komme nicht weiter… Ich habe verschiedene Internetseiten angesehen, dutzende Videos angeschaut … alles sehr informativ, aber weitergeholfen hat es eher nicht. Ich bin mir nicht sicher, ob mir Informationen Fehlen um diese Aufgabe zu bearbeiten oder ob ich einfach „Begriffsstutzig“ bin . Ich hoffe Sie können mir weiterhelfen und sehen mein Problem ( „Mit mein Problem“ meine ich mein Problem bei der Aufgabe :smiley: nicht falsche verstehen :smiley: )
Und außerdem wollte ich mich für die Korrektur der ersten Aufgabe bedanken

Gruß CIWStudent

#4

Hi,

irgendwas mit dem Verständnis ist noch nicht auf 100%.

In der Aufgabe ist eine Folge mit x[0]=0 und x[n+1]=1/2*(1-x[n]^2) gegeben. Du hast korrekt

x[1]=1/2, x[2]=3/8, x[3]=55/128

ausgerechnet. Wenn Du also die Ungleichung

|x[n+1]-x[n]|

1 Like
#5

Vielen Dank ! Nun, weiß ich was ich die ganze Zeit über nicht verstanden habe.
Den Induktionsanfag hätte ich also schon mal.
MfG

#6

Es sollte irgendwann im Laufe der Rechnung klar werden, dass für b) keine Induktion benötigt wird, nur die Abschätzung aus a). Für den Konvergenznachweis danach braucht man wieder Induktion oder den Banachschen Fixpunktsatz für die Fixpunktiteration zu f(x)=1/2*(1-x^2) auf der Menge [0,1/2].

Hast Du die möglichen Grenzwerte schon ausgerechnet?

Gruß, Lutz

1 Like
#7

ja, habe ich. Die hatte ich eigentlich auch in der Teilaufgabe a gemacht, aber warum brauche ich das für Teilaufgabe b ? [0,375, 1/2] (Element) [0, 1/2] .

#8

Du brauchst die Schranken in der b), weil Du an einer Stelle den Grad des Ausdrucks von quadratisch auf linear reduzieren musst.

Ist es eigentlich Absicht, dass Deine Antworten immer auf Ebene Re^2 fallen, oder spinnt da mal wieder das System?

Gruß, Lutz

#9

Ich glaube ich verstehe langsam die Teilaufgabe (b). Ich hatte zu Beginn den Fehler gemacht, die Informationen die über der Teilaufgabe (a) standen zu der Teilaufgabe (a) zuzuordnen und habe demzufolge diese Informationen für Teilaufgabe (b) gar nicht im Betracht gezogen… wegen dem Fehler habe ich mich Stunden für Nichts beschäftigt. Also nur damit Ich sicher gehen kann, dass ich die Teilaufgabe b richtig verstanden habe : Ich soll die erste Ungleichung folgern für n größer-gleich 2 d.h. also ich setzte erst mal Zahlen 2,3,4 für n ein. Danach führe ich eine allgemeine Indukion aus . Ich verstehe daraus, dass ich von der ersten Ungleichung auf die 2 Ungleichung kommen soll. Nun wenn das so sein sollte (wovon ich nicht ausgehe), dann habe ich keine Ahnung wie ich auf einen Exponenten n kommen soll. Ich schätze mal, dass ich die Aufgabe immer nicht verstanden habe und ich bin auch nicht ganz mit solchen Aufgaben vertraut, denn ich beschäftige mich erst seit 3 Tagen mit Folgen, Grenzwerte, konver… etc. . Dennoch möchte ich mich bei Ihnen bedanken, dass Sie sich die Zeit genommen haben um mich zu unterstützen. Ich schätze mal ich warte bis Montag bis die Lösungen im Internet stehen und ich es dann nachvollziehen kann. Zu Ihrer Frage : Ich Tippe einfach mein Kommentar ein und klicke, dann auf " Kommentar abschicken" , also beabsichtigt mache ich das nicht

Gruß MfG

#10

Es ist

f(x)-f(y)=1/2*(y^2-x^2)=1/2*(y-x)*(y+x),

wodurch mit der Abschätzung aus a) folgt

|f(y)-f(x)|

1 Like