Russisches Roulette

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hans und Erwin spielen russiches Roulette.
Beide benutzen abwechselnd denselben Revolver, um aufeinander zu schießen. Der Revolver hat sechs zyklisch angeordnete Kammern, aber nur eine ist geladen. Vor jedem Schuß werden die Kammern zufällig gedreht, so dass genau eine Kammer in Schußposition ist. Derjenige der zuerst den anderen erschießt gewinnt.
Wenn sich ein Schuß löst, treffen sie den anderen, weil sie nur wenige Zentimeter voneinander entfernt stehen.

Hans fängt an.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans das Duell gewinnt?

#2

Hans hat den Vorteil des ersten SChusses. Er hat die höhere Gewinnchance.

Ansonsten ist die Verteilung der Gewinnmöglichkeiten die Folgende:

1.Runde: P(Hans erschiesst Erwin in der 1. Runde) = 1/6
2.Runde: P(Hans erschiesst Erwin nicht in der ersten Runde)*P(Erwin erschiesst Hans in der 2. Runde) = 5/6 * 1/6
3.Runde: P(Hans erschiesst Erwin nicht in der 1.Runde)*P(Erwin erschiesst Hans nicht in der 2. Runde)*P(Hans erschiesst Erwin in der 3.Runde)= 5/6 * 5/6 * 1/6
…
n.Runde: 5/6**n * 1/6

Die geraden Runden gehen an Hans, die ungeraden an Erwin, also

P(Hans gewinnt in einer geraden Runde)= (5/6**(0+2+4+6+8+…))*1/6
= Summe(5/6**i)*1/6, i= 0,2,4,… über alle geraden Zahlen
P(Erwin gewinnt in einer ungeraden Runde)
= Summe (5/6**j)*1/6, j= 1,3,5,… über alle ungeraden Zahlen.

Ich habe es mal bis zur 21. Runde gerechnet, daraus folgt dass die Chancen für Hans mit p=0,54 besser stehen als für Erwin, der bis dahin nur eine Siegeswahrscheinlichkeit von p=0.45 hat.

Lieben Gruß
Patrick

#3

Ich habe es mal bis zur 21. Runde gerechnet, daraus folgt dass
die Chancen für Hans mit p=0,54 besser stehen als für Erwin,
der bis dahin nur eine Siegeswahrscheinlichkeit von p=0.45
hat.

Wenn man die Formel für die geometrische Reihe kennt, kann man es exakt ausrechnen:

p(„Hans gewinnt“) = 1/6 * summen=0…oo2n =1/6 * 1/(1-(5/6)2) = 6/11 = 0,54periode

Gruß
Oliver

#4

Hallo Simon,

wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, werden die Kammern nach
jedem Schuß zufällig rotiert, so dass die Chancen für beide 50:50
stehen … bei jedem Schuß ist die Wahrscheinlichkeit wieder von
Neuem 1/6, da die zufällig gewählte Kammer jede der sechs sein kann
… Oder sehe ich das falsch?

Gruß,
Sibylle aus M

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#5

wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, werden die
Kammern nach
jedem Schuß zufällig rotiert, so dass die Chancen für beide
50:50
stehen … bei jedem Schuß ist die Wahrscheinlichkeit wieder
von
Neuem 1/6, da die zufällig gewählte Kammer jede der sechs sein
kann.

Nicht ganz, Hans hat einen Startvorteil!

Betrachte das Spiel doch mal Runde für Runde.
Da Hans jede Runde als erster beginnt, ist für ihn die W. in dieser Runde zu gewinnen einfach 1/6. Für Erwin ist dagegen die W. nur 5/6*1/6, da er ja darauf angewiesen ist, dass Hans vorher eine leere Kammer erwischt hat.

Dies gilt in jeder Runde, also:

p(„Erwin gewinnt in Runde n“) = 5/6 p(„Hans gewinnt in Runde n“)

Wenn man nun diese W.en für alle Runden addiert, kommt man auf die Gesamtwahrscheinlichkeit das Spiel zugewinnen. Dabei kann man bei Erwin diesen Faktor 5/6 aus der Summe herausziehen und erhält:

p(„Erwin gewinnt“) = 5/6 p(„Hans gewinnt“)

Daraus fogt aber unmittelbar:
p(„Erwin gewinnt“) = 5/11
p(„Hans gewinnt“) = 6/11

Und das ohne höhere Mathematik!

Gruß
Oliver

#6

Nicht ganz, Hans hat einen Startvorteil!

Betrachte das Spiel doch mal Runde für Runde.
Da Hans jede Runde als erster beginnt, ist für ihn die W. in
dieser Runde zu gewinnen einfach 1/6. Für Erwin ist dagegen
die W. nur 5/6*1/6, da er ja darauf angewiesen ist, dass Hans
vorher eine leere Kammer erwischt hat.

Dies gilt in jeder Runde, also:

p(„Erwin gewinnt in Runde n“) = 5/6 p(„Hans gewinnt in Runde
n“)

Wenn man nun diese W.en für alle Runden addiert, kommt man auf
die Gesamtwahrscheinlichkeit das Spiel zugewinnen. Dabei kann
man bei Erwin diesen Faktor 5/6 aus der Summe herausziehen und
erhält:

p(„Erwin gewinnt“) = 5/6 p(„Hans gewinnt“)

Daraus fogt aber unmittelbar:
p(„Erwin gewinnt“) = 5/11
p(„Hans gewinnt“) = 6/11

Und das ohne höhere Mathematik!

Gruß
Oliver

Hai Oliver,

na wenn das keine höhere Mathematik ist … mit
Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte ich es noch nie so. Ist der einzige
Teil der Mathematik, mit dem ich nie „warm“ geworden bin … leider
…

Danke jedenfalls für die Erklärung, ich hab’s kapiert! (Denke ich…)

Grüße von
Sibylle aus M