Rutschen/Rollen Körper gleich schnell?

Wissenschaft Physik
#1

Guten Tag,

ich habe eine Frage bezüglich Kinetik und zwar geht es darum zu erklären ob Körper gleich schnell rutschen bzw. rollen.

Wenn es um den freien Fall geht dann kann ich es noch recht gut erklären.

die potentielle Energie ist m*g*h und die kinetische Energie ist 1/2*m*v² wenn ich das gleichsetze dann kann ich das m rauskürzen also ist die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse.

Wie sieht das für eine schiefe Ebene aus
-wenn es rollt?
-wenn es rutscht?

Wir haben gestern Versuche gemacht bei denen die Zylinder gleich schnell rollten, obwohl einer doppelte Masse hatte aber alles homogen verteilt auf das Volumen.

Im Versuch mit den rutschenden Körpern war der schwerere schneller, obwohl alles gleich war. Auflagefläche war gleich groß.

Jetzt bin ich etwas verunsichert weil ich dachte die müssten gleich schnell rutschen.

Wie kann man das erklären formeltechnisch und in Worten?

ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!

Vielen Dank schoneinmal im Vorraus und mit freundlichen Grüßen

Katja Biesel

#2

Hallo,

nein, Körper rollen nicht gleich schnell. Der Grund dafür ist, daß die Lage-Energie nicht in nur in eine Abwärts-, sondern auch eine Rotationsbewegung umgewandelt wird. Je nach Masseverteilung um die Rotationsachse ist die Rotationsenergie verschieden.
Es gibt da einen netten Versuch mit einer schiefen Ebene, wo ein Vollzylinder und ein Hohlzylinder losrollt. Der Hohlzylinder ist langsamer unten, da seine Masse weit weg von der Rotationsachse verteilt ist, hier ist das sogenannte Trägheitsmoment höher, und damit die Fähigkeit eines rotierenden Körpers, Rotationsenergie pro Masse zu speichern.

Gruß
Moriarty

#3

Vielen Dank für deine Antwort!

Wie ist das wenn ich zwei Vollzylinder habe und die rollen lasse? Di Zylinder haben den gleichen Radius und die Masse ist homogen verteilt. Nur ein Zylinder ist 4mal so schwer wie der andere. Rollen die beiden dann gleich schnell?

Liebe Grüße

#4

Hallo,

Wie ist das wenn ich zwei Vollzylinder habe und die rollen
lasse? Di Zylinder haben den gleichen Radius und die Masse ist
homogen verteilt. Nur ein Zylinder ist 4mal so schwer wie der
andere. Rollen die beiden dann gleich schnell?

Das Massen- Trägheitsmoment eines Zylinders ist: J = m*r²/2.

Wenn sich die Masse m ändert, ändert sich auch das Trägheitsmoment.
Die Zylinder rollen also nicht gleich schnell (der schwerere rollt langsamer).

Gruß:
Manni

#5

Hallo,

Wie sieht das für eine schiefe Ebene aus
-wenn es rollt?
-wenn es rutscht?

Wir haben gestern Versuche gemacht bei denen die Zylinder
gleich schnell rollten, obwohl einer doppelte Masse hatte aber
alles homogen verteilt auf das Volumen.

Im Versuch mit den rutschenden Körpern war der schwerere
schneller, obwohl alles gleich war. Auflagefläche war gleich
groß.

Jetzt bin ich etwas verunsichert weil ich dachte die müssten
gleich schnell rutschen.

Müßten sie auch.
Ich nehme an,es war ein Fehler in der Versuchsanordnung.

Wenn alle äußeren Bedingungen identisch sind (Reibung, Material, Neigung), fällt das Gewicht (Masse) aus der Rechnung heraus.

Ein Körper setzt sich auf einer schiefen Ebene mit der Beschleunigung a = g(sinx - my*cosx) in Bewegung.

x = Neigungswinkel, my = Reibungskoeffizient, g = 9,81 m/s²

Wie kann man das erklären formeltechnisch und in Worten?

Gruß:
Manni

#6

Hallo,

Es gibt da einen netten Versuch mit einer schiefen Ebene, wo
ein Vollzylinder und ein Hohlzylinder losrollt. Der
Hohlzylinder ist langsamer unten, da seine Masse weit weg von
der Rotationsachse verteilt ist, hier ist das sogenannte
Trägheitsmoment höher, und damit die Fähigkeit eines
rotierenden Körpers, Rotationsenergie pro Masse zu speichern.

Kleine Ergänzung für die Fragende:

Vollzylinder I = m*r1²/2 wenn r1 der äußere Durchmesser ist.

Hohlzylinder I = m*(r1² + r2²)/2 wenn r2 der innere Durchmesser ist.

Gruß:
Manni

#7

Hallo Manni!

Die Zylinder rollen also nicht gleich schnell (der schwerere
rollt langsamer).

Das glaube ich nicht.

Grüße

Andreas

#8

und damit hast du auch recht. …
Epot ist 4mal größer und mit jedem meter höhe kann 4 mal mehr energie in Ekin+Erot ungewandelt werden. …
das trägheitsmoment J=0.5*m*r^2=m*[(r^2)/2] so das m einfach ein faktor wird …

Bei der Berechung der Rotationsenergie Erot=0.5*J*W^2 (w= wingelgeschwindigkeit), wird J um den faktor m größer (z.B. von 1 auf 4) gleichzeitig stieg auch Epot um faktor m (die zur verfügung stehende energie). Also Hat jedes masse Teil die gleiche Potenzelle Energie zur verfügung.

In Worten:
Stell dir vor du hättest 2 rollen(Zylinder) mit der masse m=1 gleicher größe. neben ein ander rollen beide gleich schnell … warum auch nciht, sind ja gleich. nun stell dir vor du könntest wie ein zaubere beide rollen in ein ander stecken … eine gleichgroße rolle mit m=2 würde entstehen. weil beide rolle in ein ander sind, rollen sie denn noch genauso wie zuvor - „hand in hand“ ohne die ander zu beinflussen. kein Zylinder schupst den ander an oder hällt ihn fest beide kommen als ein einheit unten an.

Hoffe das einleuchtet.
Norm

1 Like
#9

Hallo Andreas,

Das glaube ich nicht.

…dann rechne es bitte vor.

Gruß:
Manni

#10

Hallo,

In Worten:
Stell dir vor du hättest 2 rollen(Zylinder) mit der masse m=1
gleicher größe. neben ein ander rollen beide gleich schnell
… warum auch nciht, sind ja gleich. nun stell dir vor du
könntest wie ein zaubere beide rollen in ein ander stecken …
eine gleichgroße rolle mit m=2 würde entstehen. weil beide
rolle in ein ander sind, rollen sie denn noch genauso wie
zuvor - „hand in hand“ ohne die ander zu beinflussen. kein
Zylinder schupst den ander an oder hällt ihn fest beide kommen
als ein einheit unten an.

Jein.
Erklärungsversuch

Du änderst bei Deiner Betrachtung die Verhältnisse etwas.

Zwei miteinander gekoppelte Rollen auf derselben Unterlage haben dieselbe Flächenpressung wie eine Rolle und damit denselben Rollwiderstand.
Hast du nur eine Rolle mit dem doppelten Gewicht, ist die Flächenpressung aber doppelt so hoch.
Bei identischen Rollenabmessungen kann nur eine größere Dichte die Masse erhöhen. Die schwerere Rolle muß deshalb aus anderem Material sein.
Die schwerere Rolle wird etwas stärker in die Unterlage „einsinken“ (zum. in der Theorie).
Hierdurch erhöht sich der Rollwiderstand (Hebelarm der Rollreibung).
Das bremsende Moment wird sich (etwas) vergrößern. Die schwerere Rolle wird deshalb (theoretisch) etwas langsamer rollen.

Bei einem Schulversuch wird man das allerdings wohl nicht bemerken.

Gruß:
Manni

1 Like
#11

Hallo Manni!

…dann rechne es bitte vor.

Das kann ich nicht.

Aber Liboba sagt, ich hätte Recht. Wenn jemand sagt, ich hätte Recht, dann glaube ich das.

Grüße

Andreas

#12

Hallo Liboba!

Brillant erklärt!

Grüße

Andreas

#13

Hallo Andreas,

…dann rechne es bitte vor.

Das kann ich nicht.

es ist keine große Sache.

Mit jedem x langen Wegstück, das der Zylinder (Masse m, Trägheitsmoment J) auf der schiefen Ebene heruntergerollt ist, hat er die Höhe x sin(α) verloren. Damit lautet der Energiesatz:

m:g:x:\sin\alpha = \frac{1}{2} m:v^2 + \frac{1}{2} J:\omega^2

Unter Benutzung von v = ω R folgt daraus mit ein paar Umformungen

v^2 = 2:\frac{1}{1 + \frac{J}{m R^2}}:g:\sin\alpha:x

Da die Geschwindigkeit-von-Weg-Abhängigkeit für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen v2(x) = 2 a x ist (das folgt aus x(t) = 1/2 a t2 und v(t) = a t), ist für den rollenden Zylinder a mit dem Teil zwischen der 2 vorne und dem x hinten zu identifizieren:

a = \frac{1}{1 + \frac{J}{m R^2}}:g:\sin\alpha

Hat das Trägheitmoment des rollenden Körpers die Form J = k m R2, was z. B. für eine homogene Vollkugel (k = 2/5), einen homogenen Vollzylinder (k = 1/2), eine Hohlkugel (k = 2/3) und einen Hohlzylinder (k = 1) zutrifft, vereinfacht sich die Gleichung zu

a = \frac{1}{1 + k} g:\sin\alpha

Die Schiefe-Ebene-Herabrollbeschleunigung dieser Körper hängt also weder von ihrer Masse noch ihrem Radius (!) ab, sondern nur von k, g und α.

a_{\rm Vollzylinder} = \frac{2}{3}:g:\sin\alpha

(Vollkugel: 5/7 …, Hohlkugel: 3/5 …, Hohlzylinder: 1/2 …)

Ist der Körper allerdings ein Quader, der nicht rollen, sondern nur reibungsbehaftet rutschen kann (Reibungskoeffizient μ), lautet der Energiesatz

m:g:x:\sin\alpha = \frac{1}{2} m:v^2 + F_R:x

mit der Reibungskraft FR = μ m g cos(α).

Wieder nach v2 auflösen und a identifizieren liefert

a = g:frowning:\sin\alpha - \mu \cos\alpha)

und wenn es keine Reibung gibt, gleitet der Quader mit der maximalen Beschleunigung a = g sinα abwärts.

Man kann es statt über den EES selbstverständlich auch über die Kräfte rechnen.

Gruß
Martin

PS: Etwaiges durch höhere Massen bewirktes tieferes Einsinken in den Untergrund der schiefen Ebene, das Manni angesprochen hat, habe ich natürlich nicht berücksichtigt, weil reibungsbehaftetes Rollen nicht zur Debatte stand (nur reibungsloses Rollen und reibungsbehaftetes Rutschen). Dieser Effekt ist auch nicht wesentlich; man kann ihn durch die Wahl genügend harter Materialien beliebig klein machen, ohne dass sich sonst etwas relevant ändert.

#14

Hallo,

berücksichtigt, weil
reibungsbehaftetes Rollen nicht zur Debatte stand (nur
reibungsloses Rollen und reibungsbehaftetes Rutschen).

Ohne Reibung kein Rollen der Zylinder, sondern nur Gleiten.

Gruß:
Manni

1 Like
#15

Hallo Manni,

Ohne Reibung kein Rollen der Zylinder, sondern nur Gleiten.

Du könntest die durch die Reibung induzierte Zwangsbedingung v = ω R beim Rollvorgang auch mit einem Seil bewerkstelligen: Ein Ende eines dünnen Fadens an dem Zylinder festkleben (Punkt A in der Skizze), das andere Ende am oberen Ende der schiefen Ebene (D). Der Faden verläuft gemäß A–B–C–D unter dem Zylinder durch. Dann wird der Zylinder (solange der Faden nicht ganz abgewickelt ist) rollen, auch wenn zwischen seiner Oberfläche und der derjenigen der schiefen Ebene keine Reibung auftritt. Trifft letzteres zu, wäre so ein reibungsloses Rollen realisiert.

 \_A\_ 
 / \ D\*\*\*
 B | \*\*\* \* 
 \_\_\_C\*\*\* \*
 \*\*\* \* 
 \*\*\* \*
 \*\*\* \* 
 \*\*\* \*
 \*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*

Gruß und gute Nacht
Martin

#16

Hallo Martin,

Ohne Reibung kein Rollen der Zylinder, sondern nur Gleiten.

Du könntest die durch die Reibung induzierte Zwangsbedingung v
= ω R beim Rollvorgang auch mit einem Seil bewerkstelligen:
Ein Ende eines dünnen Fadens an dem Zylinder festkleben (Punkt
A in der Skizze), das andere Ende am oberen Ende der schiefen
Ebene (D). Der Faden verläuft gemäß A–B–C–D unter dem Zylinder
durch. Dann wird der Zylinder (solange der Faden nicht ganz
abgewickelt ist) rollen, auch wenn zwischen seiner Oberfläche
und der derjenigen der schiefen Ebene keine Reibung auftritt.
Trifft letzteres zu, wäre so ein reibungsloses Rollen
realisiert.

Das entspricht aber nicht der Versuchsdurchführung der OP in der Schule mit der schiefen Ebene und ist eine Zusatzeinrichtung.

Die Versuche mit der schiefen Ebene in der Schule sollen ja gerade die Wirkung der Reibung (z.B. Haft- und Gleitreibung) plausibel vorführen.
Ein Körper rollt nur, wenn ein Moment diese Rollbewegung erzwingt. Ohne Zusatzeinrichtung gelingt das nur durch Reibung.

Lillimarleen hat mit keinem Wort die Vorbedingung „Reibungsfreiheit“ erwähnt.
Der Begriff wurde erst durch Dich zusätzlich eingeführt.
Wenn Du diese nicht zur Frage gehörende und unrealistische Bedingung nun unbedingt mit dem Faden untermauern willst, ist es mir auch Recht.

Du beantwortest eine Frage, die Lilli nicht gestellt hat.

Gruß:
Manni

1 Like
#17

Hallo,

es ist keine große Sache.

Na ja…

Ich beziehe mich auf den Schulversuch von lilli und nur auf diesen mit ihren Fragen ohne die weiteren Abwandlungen durch P.

Es gibt keine schiefe Ebene o h n e die Wirkung von Reibung.
Ohne Reibung würde ein Zylinder nicht rollen, nur gleiten.
Die Energie (I/2)* omega² entfiele aus der Rechnung.

Mit jedem x langen Wegstück, das der Zylinder (Masse m,
Trägheitsmoment J) auf der schiefen Ebene heruntergerollt ist,
hat er die Höhe x sin(α) verloren. Damit lautet der
Energiesatz:

m:g:x:\sin\alpha = \frac{1}{2} m:v^2 + \frac{1}{2}
J:\omega^2

Der Anteil der Reibung (Reibungsarbeit) fehlt.

Unter Benutzung von v = ω R folgt daraus mit ein paar
Umformungen

v^2 = 2:\frac{1}{1 + \frac{J}{m R^2}}:g:\sin\alpha:x

Da die Geschwindigkeit-von-Weg-Abhängigkeit für gleichmäßig
beschleunigte Bewegungen v2(x) = 2 a x ist (das
folgt aus x(t) = 1/2 a t2 und v(t) = a t), ist für
den rollenden Zylinder a mit dem Teil zwischen der 2 vorne und
dem x hinten zu identifizieren:

a = \frac{1}{1 + \frac{J}{m R^2}}:g:\sin\alpha

Es fehlt der Einfluß der Rollreibung -cos alpha*f/R wenn f der Hebelarm der Rollreibung ist, R der Radius.

Hat das Trägheitmoment des rollenden Körpers die Form J = k m
R2, was z. B. für eine homogene Vollkugel (k =
2/5), einen homogenen Vollzylinder (k = 1/2), eine Hohlkugel
(k = 2/3) und einen Hohlzylinder (k = 1) zutrifft, vereinfacht
sich die Gleichung zu

a = \frac{1}{1 + k} g:\sin\alpha

Die Schiefe-Ebene-Herabrollbeschleunigung dieser Körper hängt
also weder von ihrer Masse noch ihrem Radius (!) ab, sondern
nur von k, g und α.:

Unter Umständen doch vom Radius.
Der Einfluß ist allerdings sehr gering und im Schulversuch nicht meßbar.

a_{\rm Vollzylinder} = \frac{2}{3}:g:\sin\alpha

Falsch:

a=2/3g(sin alpha-cos alpha*f/R), R = Radius

PS: Etwaiges durch höhere Massen bewirktes tieferes Einsinken
in den Untergrund der schiefen Ebene, das Manni angesprochen
hat, habe ich natürlich nicht berücksichtigt, weil
reibungsbehaftetes Rollen nicht zur Debatte stand (nur
reibungsloses Rollen und reibungsbehaftetes Rutschen).

Falsche Begründung:
Das reibungslose Rollen stand nie zur Debatte. Reine Erfindung!
Es gibt kein reibungsloses Rollen.

Gruß:
Manni

1 Like