Hallo, ich möchte die Frequenz einer schwingenden Klaviersaite berechnen und brauche die Formel, denn ich kann sie nirgends finden. Zudem wäre ein Tipp hilfreich, wie ich die Spannkraft am Klavier/Flügel messen kann.
Danke im Voraus!
Hallo, ich probiere mal mein Glück.
Als erstes müssen wir kleine Auslenkungen annehmen, da sonst alle Näherungen nicht mehr gelten.
Zweitens, die Klaviersaite muss eine bestimmte LängeL haben. Resonanzen korrespondieren zu stehenden Wellen der Form sin(kx), mit den Randbedingungen, dass bei x=0 die Auslenkung 0 ist, und dass bei x=L die Auslenkung auch 0 ist. Dadurch folgt, dass k*L=n*Pi sein muss. Mit der allgemeinen Beziehung k=2*Pi/Lambda haben wir so die möglichen Wert für die Wellenlänge Lambda gefunden.
Nun weiß ich nicht wie vertraut du mit Differentialrechnung bist, aber ich versuch es einfach mal. Stelle Dir ein kleines Stückchen der Seite vor, die gerade schwingt. Sie hat die Masse m=rho*dx und bewegt sich nacht oben oder unten(y-Richtung). Die Spannkraft auf dieses Stückchen hängt von der Verschiebung zu den Nachbarstückchenab. F=sigma*(d^2y/dx^2)*dx Wobei Sigma die Kraftdichte Kraft/Länge ist. Diese Formel gilt nur für kleine Auslenkungen und Kann aus deiner TAylorentwicklung hergeleitet werden. Mit der zweitten Nweton Formel gilt nun F=m*a,
also (d^2y/dt^2)=(sigma/rho)*(d^2y/dx^2) . Das ist eine Wellengleichung, die man mit dem Ansatz y=sin(2*Pi(x-c*t)) lösen kann. Mann erhält c=Wurzel(Sigma/Rho)=f*Lambda=Wellengeschwindigkeit. Das kann man nach f Umstellen und die auf Lambda eingeschränkten Werte anwenden: f=Wurzel(Sigma/RHo)*n/(2*L), wobei n eine ganze Zahl ist. Da hast du dann erst mal deine Frequenzen.
Wie du die Spannkraft messen kannst? Also du brauchst auf jeden Fall die Dichte der SAite. Dann kannst du entweder mehrere eigenfrequenzen messen und aus der obigen Formel Sigma bestimmen. Das ist das leichteste. Theoretisch könntest du auch eine kleine Welle auf der Seite erzeugen, deren Geschwindigkeit messen und aus der Formel Sigma bestimmen.
Ich hoffe ich konnte helfen, bei RÜckfragen einfach melden.
Also ich erkläre mein Problem mal ein Bisschen genauer: Ich möchte für meine Facharbeit gerne an einem Klavier oder Flügel den Ton einer Saite vorhersagen, ohne ihn zu messen. Dafür bräuchte ich eine möglichst einfache Anleitung.