Satz von Bayes (Wahrscheinlichkeitsrechnung) unlogisch?

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Experten, hier meine Frage:
Bei einer Vorsorgeuntersuchung wird eine seltene Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% diagnostiziert. Die Krankheit tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1% auf. Von den Gesunden werden allerdings auch 2% der Untersuchten als krank diagnostiziert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine als krank diagnostizierte Person tatsächlich erkrankt ist?

Ich bekomme hier als Ergebnis 0,046756 (also 4,6%) heraus. Diese Lösung steht auch im Lösungsheft.

Meiner Ansicht nach müsste aber die Wahrscheinlichkeit viel höher sein. Immerhin sollte die Maschine doch im Großteil der Fälle richtig liegen. Ich hätte mir so ca. 95% erwartet.

Bitte um Hilfe.

LG, Philipp

#2

Mit 100%iger Wahrscheinilichkeit kann ich sagen, dass ich die Frage nicht verstanden habe

#3

Hallo,

nur 0,1% aller Personen sind krank, also 1 von 1000.
Von 1000 Gesunden werden allerdings 2%, also ZWANZIG (!), als „krank“ bezeichnet.

Wenn eine Untersuchung deutlich mehr Gesunde zu Kranken erklärt, als es überhaupt Kranke gibt, dann ist sie halt sehr ungenau, wie in diesem Fall.

Nochmal mit großen Zahlen:
100.000 Menschen werden untersucht, darunter sind 100 Kranke und 99.900 Gesunde.
Die Untersuchung identifiziert fast alle Kranken, nämlich 98.
Leider werden auch 1998 Gesunde (2% von 99.900) als „krank“ befunden.
Du hast also bei 100.000 Untersuchungen 98 echt kranke und 1998 falsch kranke Ergebnisse, zusamme 2096mal den Befund „krank“. 98 auf 2096 ist ein Verhältnis von 0,046755… , was hier allerdings falsch gerundet wurde, 4,7% wäre korrekt.

#4

Klingt plötzlich logisch. Vielen Dank. :smiley: