Hallo,
ich soll mit Hilfe des Satzes von Moivre folgende trigonometrische Beziehung beweisen:
sin2φ = 2* sinφ * cosφ
und
cos2φ = 2* cos²φ - 1
ich habe leider keinen Plan wie, wo ich anfangen soll, geschweige denn, wie ich zu einer Lösung finde.
Für Anworten bin ich sehr dankbar…
leider kein plan
sorry
Hallo, der Satz lautet:
(cosx +i*sinx)² = cos2x + i*sin2x
Weil (cosx + i*sinx)² = cos²x - sin²x + i*2cosx*sinx nach der binomischen Formel für Quadrate gilt
( beachte i² = -1 ) kann geschrieben werden:
cos2x + i*sin2x = cos²x - sin²x + i*2sinx*cosx
Durch Vergleich von reellen und imaginären Teilen auf beiden Seiten erhält man mit der Identität
sin²x + cos²x = 1
cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1
sin2x = 2sinx*cosx
Damit sind beide Gleichungen gefunden.
Aus Euler-Moivre e^îɸ =cosɸ + i*sinɸ
folgt e^(x+y)=cos(x+y)+i*sin(x+y).
Ebenso e^(x+y)=e^îx * e^îy = (cosx + i*sinx) * (cosy + i*siny)=…=cosx*cosy – sinx*siny + i*( sinx*cosy + cosx*siny).
Es ist also cos(x+y)+i*sin(x+y) = cosx*cosy – sinx*siny + i*( sinx*cosy + cosx*siny).
Daraus: cos(x+y) = cosx*cosy – sinx*siny und sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*siny.
Mit x=y und (cosx)^2 = 1 – (sinx)^2 bekommst du deine Formeln.
Danke danke. Hat mir sehr geholfen
Danke danke hat mir sehr geholfen
Hallo
vielleicht könntest Du mir nochmal helfen???
ich habe folgende Frage:
ich soll den Wert des folgenden Integrals bestimmen:
Integral (obere Grenze 2; untere Grenze 1)
dx/(4-x^2)^1/2
ich komme da einfach nicht weiter.
Eine Angabe mit Rechenweg wäre sehr nett.
Könnt Ihr mir helfen???
Besten Dank
Hallo,
der Satz von Moivre lautet:
(cosx + i*sinx)^n = cos nx + i*sin nx
Wenn man dessen Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen n voraussetzt, dann gilt er auch für n = 2.
Somit gilt:
(cosx + i*sinx)^2 = cos 2x + i* sin 2x (Gl.1)
Dabei stellt cos 2x den Realteil und sin 2x den Imaginärteil einer komplexen Zahl c = RT + i*IT dar.
Geht man an den linken Teil der Gleichung mit der binomischen Formel dran, dann ergibt sich andererseits:
(cosx + i*sinx)^2
= (cosx)^2 + 2i*cosx*sinx + (i*sinx)^2
= (cosx)^2 + i*2sinx*cosx + i^2*(sinx)^2
= (cosx)^2 - (sin x)^2 + i * 2sinx*cosx (Gl.2)
Die letzte Zeile stellt wiederum eine komplexe Zahl dar, wobei hier der Realteil RT = (cosx)^2 - (sinx)^2 und der Imaginärteil IT = 2sinx*cosx sind.
Führt man nun mit dem Term aus (Gl.1) und dem Term aus (Gl.2), die ja gleich sein müssen, einen Koeffizientenvergleich durch (die beiden Realteile sind gleich und die beiden Imaginärteile sind gleich), so ergibt sich:
(3) cos 2x = (cosx)^2 - (sinx)^2 (Realteile)
und
(4) sin 2x = 2*sinx*cosx (Imaginärteile)
Die Gleichung (3) lässt sich unter Berücksichtigung der Gleichung (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 so umwandeln, wie die zweite Behauptung lautet (für (sinx)^2 = 1-(cosx)^2 einsetzen).
Damit sind die beiden Gleichungen unter Verwendung des Satzes von Moivre bewiesen.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo.
Der Trick ist, den Satz von Moivre für die vorhandenen Gegenbenheiten so umzuformen, dass die geforderte Aussage herauskommt.
SvM:
(cosx + i*sinx)^n = cos(nx) + i*sin(nx)
Zum Beispiel:
Schauen wir uns Gleichung 2 an:
cos2φ = 2* cos²φ - 1
Dort steht so etwas ähliches wie eine binomische Formel. Mit geschickten Umformen und entsprechenden Setzen von „n“ im SvM kommst Du schnell in die richtige Richtung. Mit diversen Potenzregeln bzw. e^ix kommt man sehr schnell auf das gewünschte Resultat.
Generell: Voraussetzungen anschauen - Ziel anschauen und überlegen, wie man am geschicktesten dort hin kommt.
Viele Erfolg.
Moivre (Ich nenn den Winkel x)
(cos x + i*sin x)^n = cos (nx) + i*sin (nx)
i ist der Imaginäranteil und definiert als i²=-1
n ist bei dir 2
Daraus folgt
(cosx + i*sinx)² = cos2x + i*sin2x
Klammer auflösen ergibt
cos²x + i²*sin²x + 2*cosx*i*sinx = cos2x + i*sin2x
i²=-1 und somit cos²x - sin²x = cos2x, woraus folgt
cos2x +i*2*cosx*sinx = cos2x + i*sin2x
i*2*sinx*cosx = i*sin2x |/i
sin2x = 2*sinx*cosx
cos2φ = 2* cos²φ - 1
(cosx + i*sinx)² = cos2x + i*sin2x
cos²x + i²*sin²x + 2*cosx*i*sinx = cos2x + i*sin2x
Wie oben gezeigt ist i*2*cosx*sinx = i*sin2x
Daraus folgt
cos²x + i²*sin²x + i*sin2x = cos2x + i*sin2x
cos²x -sin²x + i*sin2x = cos2x + i*sin2x
cos²x -sin²x = cos2x
Da cos²x + sin²x=1, ist sin²x = 1 - cos²x
Also
cos²x -(1 - cos²x) = cos2x = 2*cos²x - 1
Ich hoffe es ist verständlich. i wird als Konstante betrachtet, für die gilt i²=-1
B
Für Anworten bin ich sehr dankbar…
Hallo!
Zunächst mal: Soweit ich weiß ist es gegen die Benutungsrichtlinien, das Portal als Hausaufgabenhilfe zu verwenden (…anscheinend ist das doch eine Hausaufgabe, oder?).
Die Aufgaben stammen wohl aus irgendeinem Mathematikkurs. NUR mit dem Satz von Moivre sind die m. E. nicht zu lösen. Dazu müßte man den Kurs kenne und wissen, welche Sätze sonst noch als bekannt vorausgesetzt werden können. Ohne weitere Angaben kann ich diese Aufgaben auch nicht lösen.
Grüße
Stefan
Hallo
Besten Dank
Hallo,
kam eben erst aus dem Urlaub, aber kann dir auch leider absolut nicht weiterhelfen, sorry.
Viel Erfolg!
Fabi
Schon eine Weile her, wird sich erledigt haben.
FG
Schröter
Hallo,
entschuldige, ich muss Deine Frage damals einfach übersehen haben - ich habe den Beweis, aber er ist sicher nicht mehr aktuell. Wenn doch, dann melde Dich einfach,
Gruß vom Max