Ich würde Magnetknöpfe verwenden. Die sind sehr stark. Maximal zwei müssten reichen. Feuchtigkeit ist an sich kein Problem. Ich habe welche in Gebrauch, die Kochwäsche überlebt haben von Prym. Notfalls könnte man da mal nachfragen. Die haben recht guten Service.
Das Problem der Verbrennungsgefahr kann man durch ein Stoffkläppchen lösen. Es ist ja nur auf einer Seite nötig.
Allerdings gebe ich etwas anderes zu bedenken. Kein Schweiß auf Holz. Das bedeutet, das Tuch muss groß genug sein. Ich habe regelmäßig einen Hals auf Leute, die mit einem Gästehandtuch in die Sauna kommen, was zwangsläufig bedeutet, dass das nicht einzuhalten ist. Ausreichend breite und lange Handtücher sind schwer und…lang. Ein praktikabler Umfang für so ein Vorhaben wären 1,50, die Mindestlänge ist für ein Saunatuch aber 1,80, wenn nicht 2 m. Durch Kilttechnik faltet man den Überhang weg. Bei Magneten müsstest du gucken, dass du die Länge auch am anderen Ende fixiertst. Du brauchst also an zwei Stellen Magnete.