Hallo!
Hier mal wieder ein leichtes Rätsel, wenn auch leider nicht ganz neu:
Wenn die Schafe einer Herde in 2, 3, 4, 5, oder 6 gleichlangen Reihen gehen, bleibt immer genau eins übrig, aber bei 7 Reihen passt es.
Die Frage, wie viele Schafe es sind, ist wohl zu leicht.
Es gibt einen Lösungsweg, auf dem jeder, der die Grundschule hinter sich hat, das Rätsel im Kopf lösen kann.
Welcher Lösungsweg ist das, oder wenn es mehrere gibt, welcher ist der leichteste?
Grüße
Andreas
Lösung
Hi!
Der leichteste Lösungsweg dürfte wohl der sein:
2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 721
Auf die schnelle ergibt die Gegenprobe auch immer Nachkommastellen, welche mit dem Teiler multipliziert „1“ ergeben.
mfg
Hallo!
Das ist richtig, aber…
Ich habe vergessen, zu schreiben, dass die KLEINSTMÖGLICHE Herde gemeint ist.
Sorry.
Grüße
Andreas
Ergänzung
Hallo nochmal!
Gesucht ist die kleinstmögliche Herde. Sonst wäre es ja zu einfach. Habe ich vergessen, zu schreiben.
Grüße
Andreas
Hallo Thommy,
2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 721
wie wäre es mit 301?
Auf die schnelle ergibt die Gegenprobe auch immer
Nachkommastellen, welche mit dem Teiler multipliziert „1“
ergeben.
?
Ich hab das Excel lösen lassen (irgendwie habe ich vergessen wie man im Kopf das KgV berechnet *gg*)
Tabellenblatt: [Mappe1]!Tabelle1
│ A │ B │
──┼─────┼───┤
1 │ 60 │ 5 │
──┼─────┼───┤
2 │ 120 │ 2 │
──┼─────┼───┤
3 │ 180 │ 6 │
──┼─────┼───┤
4 │ 240 │ 3 │
──┼─────┼───┤
5 │ 300 │ 0 │
──┼─────┼───┤
6 │ 360 │ 4 │
──┼─────┼───┤
7 │ 420 │ 1 │
──┼─────┼───┤
8 │ 480 │ 5 │
──┴─────┴───┘
Benutzte Formeln:
A1: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A2: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A3: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A4: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A5: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A6: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A7: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
A8: =KGV(4;5;6)\*ZEILE()
B1: =REST(A1+1;7)
B2: =REST(A2+1;7)
B3: =REST(A3+1;7)
B4: =REST(A4+1;7)
B5: =REST(A5+1;7)
B6: =REST(A6+1;7)
B7: =REST(A7+1;7)
B8: =REST(A8+1;7)
A1:B8
haben das Zahlenformat: Standard
Tabellendarstellung erreicht mit dem Code in FAQ:2363
Gruß
Reinhard
kgV
das KGV berechnet man, indem man die einzelnen Zahlen in deren Primzahlen zerlegt.
Anschliessend muss man nur jede vorkommende Zahl miteinander multiplizieren.
2 wäre also 1*2
3 wäre 1*3
4 wäre 2*2
5 wäre 1*5
6 wäre 2*3
7 wäre 1*7
1*2*3*5*7 = 210
das wäre das kleinste gemeinsame Vielfache…
Das Problem ist, dass bei 211 bei 4 reihen 3 Schafe übrig blieben 
Aber das war ja nicht mehr das Problem bei Deiner Lösung *g*
Hallo Andreas !
Ich würde folgendermassen an die Sache herangehen:
Die gesuchte Zahl muss also bei Teilen durch 2, 3, 4, 5, und 6 jeweils 1 Rest geben aber durch 7 ganzzahlig teilbar sein.
Ich suche also ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, und 6 das um 1 erhöht durch 7 teilbar ist.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren Zahlen findet man bekanntlich durch Multiplikation der Primfaktoren dieser Zahlen:
2 -> 2^1
3 -> 3^1
4 -> 2^2
5 -> 5^1
6 -> 2^1 * 3^1
=> 2^2 * 3^1 * 5^1 => 4 * 3 * 5 => 60
(Darauf käme man alternativ auch noch leicht direkt: das kgV von 2, 3, 4 und 6 ist 12. Bleibt noch 5. Das kgV von 5 und 12 ist 60)
Jetzt schaue ich also für alle um 1 erhöhten Vielfachen von 60 ob sie durch 7 teilbar sind, da stosse ich schnell auf 301.
mfg
Christof
das wäre das kleinste gemeinsame Vielfache…
Das Problem ist, dass bei 211 bei 4 reihen 3 Schafe übrig
blieben
Aber das war ja nicht mehr das Problem bei Deiner Lösung *g*
Hallo Munich,
210 ist aber nicht durch 4 teilbar, irgendwo stimmt da deine KgV-Rechnung nicht.
Und die gesuchte Zahl ist durch 7 teilbar, erst die Zahl minus 1 dann durch 2,3,4,5,6, also kann/muß die Zahl gar nicht durch 7 teilbar sein.
Gruß
Reinhard
Perfekt!
Hallo Christof!
Gratuliere. Ich denke, das ist die einfachste Lösung!
Grüße
Andreas
Hi Andreas,
Gratuliere. Ich denke, das ist die einfachste Lösung!
wirklich schade; ich dachte, es kommt noch eine viel einfachere Lösung, die wir Erwachsenen vor lauter Zahlentheorie-Kenntnissen einfach übersehen.
Und lernt man solche Dinge wie Primzahlen und kgV tatsächlich schon in der Grundschule? Ich kann mich leider nicht mehr erinnern … 
Viele Grüße,
Andreas
Hallo Andreas!
Es gibt noch eine andere Lösung, die aber auch nicht einfacher ist, als deine.
Die Zahl muss ein Vielfaches von 7 sein, also 7 mal X.
X darf durch keine Zahl (außer 1) teilbar sein, die kleiner ist, als 7.
Ich stelle die Vermutung auf: X ist kleiner als 49.
So lange X kleiner ist, als 49, kann X nur eine Primzahl sein.
Wenn bei der gesuchten Zahl 1 übrigbleibt, beim Teilen durch 5, muss die letzte Ziffer eine 1 oder eine 6 sein.
Eine 6 geht nicht, denn die Zahl darf nicht durch 2 teilbar sein. Bleibt also nur die 1 am Ende.
Jetzt muss ich nur noch die Zahl 7 mit allen Primzahlen multiplizieren und prüfen, ob das Ergebnis am Ende eine die Ziffer 1 hat.
Das ist mit wenigen Kopfrechenaufgaben getan.
Die Zahlen, die jetzt noch bleiben, sind nur sehr wenige, so dass die gesuchte leicht gefunden werden kann.
Grüße
Andreas
Ich darf auch noch eine Überlegung einbringen, die die Lösung etwas rascher machen könnte, weil man nicht viel Kopfrechnen muß.
[a] Die Anzahl der Schafe minus 1 sind durch 2 und durch 5 teilbar. Also muß die Zahl am Ende unbedingt eine 1 haben. (2*5= Null am Ende)
[b] Nur ein Zahl mit einer 3 am Ende ergibt mit 7 multipliziert eine Zahl mit einer 1 am Ende. (3; 13; 23; …)
[c] Da 3*7=21 ist, und 20( 21 minus das übrige Schaf ), bereits durch 4 teilbar ist, muß der Rest aus der Reihe [b] (x*7-21) auch noch durch 4 teilbar sein. Also kommen als Faktoren mit 7 nur noch gerade Zehnerstellen in Betracht. (23; 43; 63; …)
[d] Das Ergebnis der Reihe aus [c] minus 1 muß natürlich auch durch 3 teibar sein. Das ist schnell zu prüfen, da die Quersume ja ebenfalls durch 3 teilbar sein muß.
Erst nach diesen logischen Überlegungen beginnt man zu rechnen, dann braucht man schnell am Ziel.
23*7-1=160 Quersumme 7; also is’ nicht.
43*7-1=300 Quersumme 3; und damit haben wir auch schon die erste und kleinste Lösung.
Fertig
Hallo!
Deine Lösung ist brillant!
Grüße
Andreas