Eine Stahlkugel mit 15 cm Durchmesser soll aus der Ruhelage
eine schiefe Ebene mit 25 Grad Neigung herabrollen. Der
Hebelarm der Rollreibung beträgt 0,08 cm, der
Reibungskoeffizient der Haftreibung ist 0,4.
Welche Werte haben:
Die fortschreitende Beschleunigung bei einer Rollbewegung?
Die Winkelbeschleunigung und den max. Neigungswinkel, damit
die Kugel nicht gleitet.
Ich hab es mal probiert, gibt aber ein paar Sachen bei denen ich mir unsicher bin. Ich fang einfach mal an.
Also Gleitreibkoeffizient habe ich 0,3 angenommen.
Sichte von Stahl rho=7850 km/m3
Dann ergibt sich das Gewicht für eine Vollkugel zu m=13,87 kg (FG=136,06).
Das Trägheitsmoment ergibt sich dann zu J=0,42 kg*m2
Da der Rollwiderstand etwa um den Faktor 100 kleiner ist, als der Gleitwiderstand, hat er für diese Betrachtung eine untergeordnete rolle und ich werde ihn in der Rechnung nicht berücksichtigen.
Damit die Kugel anfängt zu gleiten muss die Hangabtriebskraft größer der Haftreibungskraft sein.
Die Haftkraft ergibt sich aus dem Haftreibungskoeffizienten und der Normalkraft.
Dann ergibt sich als minimaler Winkel alphamin=arctan(mühHaft)
Also ist die Bedingung schon mal erfüllt.
Für 25° wie in der Aufgabe ergibt sich die Normalkraft zu FN=123,32 N
Die Hangabtriebskraft zu FH=52,11 N
Die Gleitreibungskraft zu FG=36,99 N
Daraus ergibt sich die resultierende Hangantriebskraft als Differenz der beiden Kräfte.
FH,res=15,11 N
Daraus lässt sich dann eine Beschleunigung für die Translation der Kugel errechnen.
aH,res=FH,res/m=1,09 m/s2
Hier bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ich geh jetzt weiter davon aus, dass die resultierende Kraft die ist, die die Rotationsbeschleunigung hervorruft, aber das sollte doch so stimmen.
FH greift am Schwerpunkt als Mittelpunkt der Kugel an, die Reibkraft um Umfang, draus entsteht das Moment.
M=FH,res*R=1,13 Nm
Über das Trägheitsmoment ergibt sich dann die Winkelbeschleunigung gamma (hab dir hier mal so genannt, da wir mit alpha schon den Winkel bezeichnen).
gamma=M/J=2,72 rad/s2=0,43 Umdr./s2
Über den Umfang U=2*pi*r= 0,47 m ergibt sich eine Umfangsbeschleunigung von aUmfang=0,2 m/s2.
Die Umfangsbeschleunigung ist als mit 0,2 kleiner als die translatorische Beschleunigung mit 1,09. Sie wird also immer gleiten und rollen gleichzeitig.
Damit die Kugel aufhört zu gleichten, muss die Hangabtriebskraft kleiner als der Gleitwiderstand stand, das ist beim ein Winkel von 21,81° der Fall.
Ich bin nicht bei allen Punkten sicher, von daher freue ich mich, wenn ihr eventuelle Fehler korrigiert.
Gruß,
TeaAge