Diese Aufgabe kann man auf zweierlei Arten lösen. Entweder als eine gleichförmige Beschleunigung, resp. Verzögerung, die durch die Hangabtriebskraft (oder Parallelkraft) hervorgerufen wird oder mit dem Energiesatz. Die Hangabtriebskraft ist bei einer schiefen Ebene mit 30 Grad Neigungswinkel halb so gross wie die Gewichtskraft und die Verzögerung ist dann auch halb so gross wie die durch die Gewichtskraft hervorgerufene Fallbeschleunigung. Es gilt also FH = mg sin(30 grad) = (1/2)mg = ma. Wie erwartet erhält man a =g/2. Eigentlich gilt a = -g/2 (Weil es eine Verzögerung ist). Aus der Definition der Beschleunigung a = (vE – vo)/t erhält man für die Zeit, die vergeht vom Anfangszustand am Fusse der schiefen Ebene bis zur Umkehr folgendes: t = (vE – vo)/a und weil vE = 0 wird daraus t = -vo/a = -vo/(-g/2) = 2vo/g = (2*10/9.8)s = 2.04s. Dann kann man die zurückgelegte Schrägdistanz in unterschiedlichen Arten berechnen, z.B.
s = vo*t +(1/2)a t^2 = vo*t - (g/4)t^2 = [10*2.04 – (9.8/4)2.04^2]m = 10.2m
Man kann auch mit einer mittleren Geschwindigkeit rechnen, vm = (vo + vE)/2 = vo/2 = 5m/s.
Mit dieser mittleren Geschwindigkeit kann man dann wie mit einer „gewöhnlichen“ Geschwindigkeit rechnen wie folgt: s = vm*t = 5*2.04m = 10.2m
Schlussendlich kann man noch die „zeitlose“ Formel aus der Dynamik verwenden wie folgt: 2a*s = ve^2 – vo^2. Weil vE = 0 erhält man für den Weg s = -vo^2/(2a) = -vo^2/(-g) = vo^2/g = (10^2/9.8)m = 10.2m.
Wenn keine Reibung vorliegt, sieht es mit dem Energiesatz so aus, dass die gesamte Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt wird. Es gilt also mgh = (1/2)m*vo^2. Man erhält h = vo^2/(2g) = (10^2/(2*9.8))m = 5.10m. Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 30 Grad ist die Schrägdistanz doppelt so gross wie der Höhenunterschied, d.h. s = 2h = 2*(vo^2/(2g)) = vo^2/g. Man erhält also wieder dieselbe Formel wie bei der „zeitlosen“ Formel aus der Dynamik und natürlich auch das gleiche Ergebnis.
Was Reibung betrifft, kann man, entsprechend den zwei Lösungsansätzen, unterschiedlich argumentieren.
Kräfte: Der Körper wird durch die Hangabtriebskraft abgebremst. Kommt noch Reibung dazu, so wirkt zusätzlich (!) eine Gleitreibungskraft in die gleiche Richtung wie die Hangabtriebskraft. (Gleitreibungskräfte wirken stets in Gegenrichtung zur Bewegung). Fasst man Hangabtriebskraft und Gleitreibungskraft zusammen, so erhält man eine grössere auf den Körper einwirkende resultierende Kraft. Der Körper wird somit stärker abgebremst, d.h. bis zum Stillstand legt er eine kürzere Strecke zurück.
Energie: Von der Energie her gesehen sieht die Sache so aus, dass der Körper mit seiner Bewegungsenergie aufgrund seiner Trägheit Hubarbeit und Reibungsarbeit verrichtet, während im reibungsfreien Fall nur Hubarbeit verrichtet wird. Weil noch Hubarbeit verrichtet werden muss kann der Körper nur einen Teil seiner Bewegungsarbeit zum Verrichten von Hubarbeit verwenden. Dies läuft darauf hinaus, dass er weniger hoch steigt. Die Schrägdistanz ist dann natürlich entsprechend kürzer.
Ich hoffe dies hilft,
Peter Senn, www.mathepauker.com
