Folgende Aufgabe:
" Gegeben sind die 3 Punkte:
A = (1,2,-3)
B = (4,0,2)
C = (-3,1,1)
Man stelle sich vor, dass die Punkte A, B und C ein Dreieck im dreidimensionalen Raum aufspannen. In welchen Punkt schneiden sich die Seitenhalbierenden dieses Dreiecks? "
Die Rechnung hierbei ist doch relativ simpel, oder? Man addiert die 3 Ortsvektoren der Punkte und teilt diese durch 3:
P = (OA + OB + OC) / 3 = (2/3,1,0)
Ist dies so korrekt?
Vielen Dank für jede Antwort!
Ja, das ist korrekt. Sollte so eine Aufgabe in einer Klausur drankommen, sollte man dazuschreiben, dass die Seitenhalbierenden sich im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden, der durch das arithmetische Mittel der Eckpunkte berechnet werden kann. Ansonsten ist es u.U. nicht ganz klar, wie du auf diese Rechnung kommst.
Nico
genau so habe ich es auch verstanden-…Man addiert die 3 Ortsvektoren der Punkte und teilt diese durch 3:
viel Spass!
Super! Vielen lieben Dank für die Antworten! =)
Schönen Gruß und eine schöne Woche wünsche ich!
Reiner
Kein Beweis - Augenwischerei
" Gegeben sind die 3 Punkte:
A = (1,2,-3)
B = (4,0,2)
C = (-3,1,1)Man stelle sich vor, dass die Punkte A, B und C ein Dreieck im
dreidimensionalen Raum aufspannen. In welchen Punkt schneiden
sich die Seitenhalbierenden dieses Dreiecks? "Die Rechnung hierbei ist doch relativ simpel, oder? Man
addiert die 3 Ortsvektoren der Punkte und teilt diese durch 3:P = (OA + OB + OC) / 3 = (2/3,1,0)
Die beschriebene Aufgabe zielte auf den vektoriellen Beweis, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden. Vorlesungsstoff war u.a. die Parametergleichung der Geraden, wie auch aus deinen anderen Fragen zu erkennen ist und das nicht zum ersten Mal. Der Beweis muss aus dem von dir erwartenden Basiswissen zu diesem Thema in einer Klausur erbracht werden. Die vorgeschlagene Lösung ist zwar richtig, klammert aber jedes tiefere Verständnis aus. Das dürfte nicht die meisten Punkte geben. Aber mir soll’s egal sein.
gruß
Hi,
In welchen Punkt schneiden sich die Seitenhalbierenden dieses Dreiecks?
Du hast eine schöne kurze Lösung gefunden.
Hier die etwas längere von der ich glaube, dass sie erwartet wird:
1.Ermittle die Mittelpunkte der jeweiligen Seiten.
2.Stelle für jede Seitenhalbierende eine Geradengleichung auf mit Hilfe des Mittelpunktes einer Seite und des gegenüberliegenden Punktes auf.
3. Berechne den Schnittpunkt zwischen den Geraden
Hinweis: Da sich alle drei Geraden im selben Punkt schneiden muss man es nur mit 2 machen, nicht mit allen 3.
MFG
Hallo Peter,
Die beschriebene Aufgabe zielte auf den vektoriellen Beweis
Nein, es war kein Beweis gefragt. Es sollte lediglich der Schnittpunkt ermittelt werden. Dass die drei Geraden sich in einem Punkt schneiden, wird schon in der Aufgabe mitgeteilt und muss nicht separat überprüft werden.
Der Beweis muss aus dem von dir erwartenden Basiswissen zu diesem Thema in einer Klausur erbracht werden
Warum? Klar, die Rechnung sollte irgendwie auf vorhandenem Wissen aufbauen. Aber dass die Seitenhalbierenden sich im Schwerpunkt schneiden ist (zumindest bei uns) Grundschulwissen und darf folglich für alle weiteren Rechnungen und Beweise verwendet und als bewiesen angesehen werden.
Das dürfte nicht die meisten Punkte geben.
Eine solche Bewertung würde ich in jedem Fall anfechten. Die Aufgabe ist korrekt gelöst. Es ist nicht die Aufgabe des Schülers, die Gedanken des Lehrers zu erraten und dessen Lösungsweg nachzuvollziehen. Es ist die Aufgabe des Schülers, die Aufgabe - so wie sie da steht - zu lösen. Und das ist hier passiert.
Nico
Hallo Nico,
Eine solche Bewertung würde ich in jedem Fall anfechten. Die
Aufgabe ist korrekt gelöst. Es ist nicht die Aufgabe des
Schülers, die Gedanken des Lehrers zu erraten und dessen
Lösungsweg nachzuvollziehen. Es ist die Aufgabe des Schülers,
die Aufgabe - so wie sie da steht - zu lösen. Und das ist hier
passiert.
Anfechten? Aufgabe des Schülers!? Und ewig grüßt der Ponyhof! Gesetzt den Fall, der Fragesteller ist kein Schüler sondern Student. Wenn er das nicht ist, kann er es ja klarstellen. Solange bleib ich bei dieser Behauptung. In jedem „Repetitorium Mathematik“ der Klausurvorbereitungen für z.B. die Ingenieurwissenschaften wird lang und breit auf diese und ähnliche und auch schwierigere Dinge (vektorielle Beweise, wie du es nennst ist mir gleich) eingegangen. Auch wenn das, was raus kommen soll, schon in anderer Weise von früher bekannt ist. Mit irgendwas muss Befähigung und Anwendung von Gelerntem doch geprüft werden.
Peter
Danke für den Hinweis. Habe die „längere Version“ mal ausprobiert und komme auf ein anderes Ergebnis als mein ursprüngliches. Siehe hier:
Mittelhalbierende ermittelt:
MAB = (5/2,1,-1/2)
MBC = (1/2, 1/2, 3/2)
MCA = (-1,3/2,-1)
Daraufhin habe ich die drei Geradengleichungen erstellt:
g1 : x = (5/2,1,-1/2) + α (-3,1,1)
g2 : x = (1/2,1/2,3/2) + β (1,2,-3)
g3 : x = (-1,3/2,-1) + γ (4,0,2)
Nun habe ich den Schnittpunkt zwischen den Geraden berechnet:
g1 = g2 --> α = 1/2 ; β = 1/2 --> Ergibt den Punkt (1,3/2,0)
g2 = g3 --> Gleiches wie „g1 = g2“ --> Erhalte also einen anderen Punkt. Durch die Methode „Ortsvektoren addieren und durch drei teilen“ erhielt ich den Punkt (2/3,1,0).
Was ist denn nun korrekt? Habe ich eventuell irgendwo einen kleinen Fehler gemacht?
Danke schonmal, falls Du nochmal 'ne Minute findest.
Schönen Gruß!
Reiner
Danke für den Hinweis. Habe die „längere Version“ mal
ausprobiert und komme auf ein anderes Ergebnis als mein
ursprüngliches. Siehe hier:Mittelhalbierende ermittelt:
MAB = (5/2,1,-1/2)
MBC = (1/2, 1/2, 3/2)
MCA = (-1,3/2,-1)
richtig
Daraufhin habe ich die drei Geradengleichungen erstellt:
g1 : x = (5/2,1,-1/2) + α (-3,1,1)
g2 : x = (1/2,1/2,3/2) + β (1,2,-3)
g3 : x = (-1,3/2,-1) + γ (4,0,2)
Du hast den gegenüberliegenden Punkt abgeschrieben und als Richtungsvektor missbraucht. Du musst aber den Richtungsvektor zwischen dem Mittelpunkt und dem gegenüberliegenden Punkt bilden.
Ah super! Wusste nicht, dass ich den Richtungsvektor noch so bilden muss. Habe dies nun gemacht und das gleiche Ergebnis raus. Vielen Vielen Dank!!!
Hi,
in der Aufgabenstelluzng ist nur nach der Lösung gefragt.
Dort steht nicht im Sinne von „beweise“ „zeige“ o. ä.,
was darauf schließen ließe, dass hier ein Beweis gefordert ist.
Gruß JK
in der Aufgabenstellung ist nur nach der Lösung gefragt.
Dennoch wäre es interessant, mal selbst einen Beweis
zu „der Mittelwert der Ortsvektoren ergibt immer den Schwerpunkt“
mal zu führen.
Das wäre dann auch für den ursprüngliche Fragesteller eine nette Übung,
die seine Fertigkeiten auf diesem Gebiet vertieft bzw. festigt.
Gruß
JK
Hi,
in der Aufgabenstelluzng ist nur nach der Lösung gefragt.
Für mich war das sonnenklar eine Aufgabe, in der die Fähigkeit zum Rekapitulieren des (Uni/FH) -Vorlesungsstoffs „Formulierung von Geraden und Beziehungen von Vektoren“ abgefragt wurde. Als Dozent hätte ich für die angebotene „Lösung“ Null Punkte gegeben - Thema verfehlt. Auch wenn Helikopter-Daddies Anwälte dann mit ganzen Air- Squadrons im Stil von Apocalypse Now angeknattert gekommen wären.
gruß