Schnittpunkt dreier Geraden

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

Gegeben sind die 3 Geraden:

y1 = 2ax + 1
y2= 4x - a
y3= 3x + 2

Gibt es eine Lösung für den Parameter a, so dass sich alle 3 Geraden in einem Punkt schneiden? Falls ja, wie lautet die Koordinate dieses Punkts?

Also:

Schnittpunkte zweier Geraden erfährt man durch gleichsetzen. Nun ist mir bekannt, dass bei 3 Geraden paarweise die Geraden gleichgesetzt werden müssen, um die Schnittpunkte zu erhalten.

Allerdings gelange ich hier nicht weiter, da ich nicht wirklich weiß, was ich mit dem Parameter a anstellen soll.

Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.

Schönen Gruß

#2

Hi

Allerdings gelange ich hier nicht weiter, da ich nicht
wirklich weiß, was ich mit dem Parameter a anstellen soll.

Der Parameter a steckt in den ersten beiden Geraden drin. Diese Geraden sind „beweglich“ und haben mit der dritten Gerade von a abhängige Schnittpunkte.

Du kannst also diese beiden von a abhängigen Schnittpunkte bestimmen und schauen, mit welchem Wert für a die beiden Schnittpunkte möglicherweise Zusammenfallen.

Faktisch sind es drei Gleichungen mit drei Unbekannten x, y und a.

Ciao, Allesquatsch

#3

Hi,

wie mein Vorredner schon sagte, es sind 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Das lässt sich mit den üblichen Verfahren lösen.
Widerspruch ist so zu interpretieren, dass sich die 3Geraden nie in einem gemeinsamen Punkt treffen.
Unterdefiniert/Lösungsmenge ist so zu interpretieren, dass es viele Lösungen gibt.
Oder natürliche die gewünschte einzelne exakte Lösung.

Für die Logik:
Mit 2 Gleichungen den Schnittpunkt errechnen, der dann abhängig vom Parameter a ist.
Diesen Schnittpunkt in die dritte Gleichung einsetzen um zu prüfen ob es eine eindeutige Lösung gibt.

MFG

#4

Richtig! Man erhält so eine quadrat. Gleichung für a, die man lösen kann. Hab’s probiert und Lösung erhalten, d.h. es gibt 1 Schnittpunkt aller 3 Geraden!
Gruß!
Friedrich

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#5

Man erhält so eine quadrat. Gleichung für a, die man
lösen kann. Hab’s probiert und Lösung erhalten, d.h. es gibt 1
Schnittpunkt aller 3 Geraden!

Wenn ich mich nicht ganz fürchterlich verrechnet habe, gibt die QG zwei Lösungen für a und damit zwei Kombinationen von drei sich schneidenden Geraden.
Gruß
Peter

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#6

Stimmt! Ich war auch anfangs überrascht über die 2 möglichen Schnittpunkte; aber wg. des Terms
a*x
in der 1.Geradengleichung ist das Gl.-System nichtlinear und läßt sich nicht einfach mit Determinante lösen. Ich habe das System für die beiden Lösungsparameter
a1 = 1,637 und a2 = -2,137
mit EXCEL-Hilfe grafisch überprüft und die beiden Schnittpunkte gesehen:
(3,6 / 12,9) und (-0,14 / 1,59).
Gruß!
Friedrich

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#7

Stimmt! Ich war auch anfangs überrascht über die 2 möglichen
Schnittpunkte; aber wg. des Terms
a*x
in der 1.Geradengleichung ist das Gl.-System nichtlinear und
läßt sich nicht einfach mit Determinante lösen. Ich habe das

Es ist die Lösung der QG 2a^2 + a – 7 = 0.

Ich fasse die Aufgabe als LGS mit drei Gleichungen, den Variablen x und y und dem Parameter a auf . Wenn man den Gauss- Algorithmus konsequent anwendet, ergibt sich in der Endrechnung nur dann kein Widerspruch, wenn a diese QG löst. Man kommt also auf verschiedenen Wegen zu dem obigen Ausdruck.
Gruß
Peter

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#8

Vielen Dank für die zahlreichen Hilfestellungen. Ich muss leider zugeben, dass diese mich noch nicht ganz an mein Ziel gebracht haben, was aber mehr an meiner mangelnden Kompetenz liegt. Nichtsdestotrotz habe ich damit die Ansätze erhalten und die Möglichkeit gehabt, mein errechnetes Ergebnis abzugleichen. Vielen Dank!

Mein Problem, um das kurz zu erläutern, war dann noch, dass ich nicht sofort erkannt habe, dass ich die quadratische Ergänzung an einer Stelle anwenden muss und eben kurz darauf die eine Seite per bin. Formel vereinfachen muss. Nachdem ich dies noch in Erfahrung gebracht habe, konnte ich die Aufgabe durchrechnen und lösen.

Werde diese und weitere Aufgabe wiederholt rechnen um die Methoden und Schritte zu festigen.

Vielen Dank erneut für die kompetenten und hilfreichen Antworten. Gerne werde ich mich in Zukunft bei Problemen erneut an Sie wenden.

Ich wünsche einen schönen Sonntag!