Beim lernen für meine morgige Klausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:
Gegeben ist f(x)= 1/9x³-4/3x.
Die Tangente H(x0/f(x0)) schneidet den Graph von f in einem weiteren Punkt P(x1/f(x1)).Bestätige, dass x1= -2x0 ist.
Wie müsste ich vorgehen wenn mir diese oder eine ähnliche Aufgabe morgen gestellt würde.
Es geht über die Geradengleichung der Tangente: über die Ableitung der Ausgangsfunktion und den eingesetzen x-Wert des Berührpunktes der Tangente bekommst die Steigung der Geraden der Tangente. Somit hast du von der unbekannten Funktion schonmal das „m“ [y=mx+b]
Jetzt ermittelst du den y-Wert des Berühpunktes der Tangente: du setzt die x-Wert des Berühpunktes in die Ausgangsgleichung ein. Jetzt hast du vom Tangentenberührpunkt (X/y). Beide setzt du jetzt für x und y ein [y=mx+b] und stellst nach „b“ um. Somit hast du die Tangentengleichung.
Um den/die Schnittpunkte von der Tangentengleichung und der Ausgangsgleichung zu bekommen, beide Funktionen gleich setzten und lösen.
Auch ein freundliches Hallo,
Wie müsste ich vorgehen wenn mir diese oder eine ähnliche
Aufgabe morgen gestellt würde.
dann besteht ein Lösungsweg darin, das Gleichungssystem
t(x0) = f(x0)
t’(x0) = f’(x0)
t(x1) = f(x1)
für Deine Funktion f(x) = 1/9 x3 – 4/3 x und t(x) = a x + b aufzustellen (t bezeichnet die Tangente). Falls Du Dich jetzt fragst, woher diese Gleichungen kommen, solltest Du Dir nochmal die Definitionen der Begriffe Tangente und „schneidet“ ansehen und sie optimalerweise dabei gleich für alle Zeiten auswendiglernen.
Nun hast Du drei Gleichungen für die vier Variablen x0, x1, a, b. Daraus machst Du durch Eliminierung von a und b eine Gleichung für x0 und x1. Vereinfache sie solange, bis Du sehen kannst, dass sie erfüllt ist, wenn x1 = –2 x0 gilt. Sie ist übrigens, und das ist sogar von vornherein klar, noch in einem weiteren Fall erfüllt, nämlich für x1 = x0. Überleg Dir den Grund dafür selbst.
Gruß
Martin