Schwerpunkt inhomogene Kugel?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo liebe Wer-Weiss-Was’ler!

Vor langer Zeit habe ich mal an der Uni gelernt, wie man einen Schwerpunkt berechnet. Ich suche den Schwerpunkt einer nicht homogenen Kugel.

Die Dichte nimmt mit folgender Formel ab: ro= ro0* e^(alpha*z)

Ich habe mir gedacht, dass der Schwerpunkt aus symmetrie Gründen auf jeden Fall auf der z-Achse liegt.

Schwerpunkt der z-Achse:

z= 1/M integral (z*ro*dV)

Ich wollte gerne Kugelkoordinaten benutzten, also für Z= r*cos phi.

Tja, und nun meine Frage:
Wie integriere ich diese Formel???

z= 1/M integral (r*cos phi * ro0* e^(alpha*z) dV)

Ist das hier noch richtig?

Danke für eure Antworten!

#2

Hallo Trueffelsau,

Die Dichte nimmt mit folgender Formel ab: ro= ro0* e^(alpha*z)

ro ist die Dichte, die nur von z abhaengt.

Ich habe mir gedacht, dass der Schwerpunkt aus symmetrie
Gründen auf jeden Fall auf der z-Achse liegt.

Yep.
Du kannst im Prinzip den Schwerpunkt bzgl. jeder Achse getrennt berechnen. Und das geht hier in kartesichen Koordinaten einfacher:

z\_m = 1/M \* int z \* rho(z) dV
 = 1/M \* int z \* exp(az) \* pi (r^2 - z^2) dz

Fuer das Integral schaut man jetzt in den Bronstein:
int x^n exp(ax) dx = 1/a * x^n exp(ax) - n/a * int(x^(n-1) exp(ax) dx
und
int x^2 exp(ax) dx = exp(ax) * (x^2/a - 2x/a^2 + 2/a^3)
int x exp(ax) dx = exp(ax) /a^2 * (ax-1)
Willst Du das per Hand herleiten, so wende die Produktintegrationregel rekursiv an: u(x)*v(x) = int u’(x)v(x) dx + int v`(x)u(x) dx und fuehre die Integrale sukzessive auf int exp(ax) dx zurueck.

Auch wenn ich Deine Frage hiermit nicht wirklich beantworte, Kugelkoordinaten wird unschoener,…

Gruss
Ingo

#3

Hallo Ingo!
Erstmal Danke für deine Antwort hat mir schon mal ein Stück weiter geholfen.

z_m = 1/M * int z * rho(z) dV
= 1/M * int z * exp(az) * pi (r^2 - z^2) dz

Eine Frage habe ich noch:
Ich weiß nicht genau wo pi (r^2 - z^2) herkommt.
Hängt das mit dem Volumenelement zusammen?

Danke für deine Antwort

die Trueffelsau

#4

Hallo Ingo!
Erstmal Danke für deine Antwort hat mir schon mal ein Stück
weiter geholfen.

z_m = 1/M * int z * rho(z) dV
= 1/M * int z * exp(az) * pi (r^2 - z^2) dz

Eine Frage habe ich noch:
Ich weiß nicht genau wo pi (r^2 - z^2) herkommt.
Hängt das mit dem Volumenelement zusammen?

Ja. Die Dichte haengt nur von z ab, deshalb fuehren wir die beiden verbleibenden Integrationen aus. Das ist die (Kreis)flaeche, wenn ich bei der Hoehe z (z=0 ist im Ursprung der Kugel) ueber x und y (bzw. Radius und Kreiswinkel in Zylinderkoordinaten) integriere. Hier kann ich’s leider nicht gut aufmahlen

 Z C




 O

O sei der Ursprung der Kugel, Z ein Punkt innerhalb der Kugel auf der z-Achse und C ein Punkt auf der Kugeloberlaeche. Die Strecke OC hat die Laenge r, die Strecke OZ die Laenge |z|. Nach dem Pytagoras ist ZC = sqrt(r^2-z^2). Aber nun ist ZC genau der Radius der Kreisflaeche zur Hoehe z. Also ist die Flaeche pi(r^2-z^2). Und um die ganze Kugel zu bekommen muessen wir eben ueber alle Kugelflaechen integrieren, also A(z) dz = pi(r^2-z^2) dz, wobei wir bei diesem Problem die Flaeche noch mit der Dichte wichten.

Gruss
Ingo