Hi!
Hat jemand schon mal jemand was von der Seifenblasenmethode zum Beweis der Formel für die Kugeloberfläche gehört?
Vielleicht kann mir jemand den Beweis skizzieren oder einen Link auf eine entsprechende Seite geben.
Hallo dollardollar
Seifenblasen tendieren wegen ihrer Obrerflächenspannung dazu, eine sogenannte Minimalfläche zu bilden.
Nimm Beispielsweise einen Drahtring und tunke ihn in eine Seifenlösung. Die Seifenhaut im Ring bildet dann eine Ebene (ist in diesem Fall die kleinstmögliche Oberfläche). Wenn du den Drahtring ein bischen zerknautschst wird auch die Seifenhaut eine andere Form annehmen. Es wird aber immer die Fläche mit der minimalen Oberfläche sein.
Eine Seifenblase ist der Spezialfall, dass keine Begrenzung vorhanden ist. Und weil die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfäche hat, bilden sich aus Seifenblasen eben Kugeln, und kein Würfel, Oktaeder oder sonstwas.
Hoffe geholfen zu haben
Viele Grüsse
Tommy
Hat jemand schon mal jemand was von der Seifenblasenmethode
zum Beweis der Formel für die Kugeloberfläche gehört?
Vielleicht kann mir jemand den Beweis skizzieren oder einen
Link auf eine entsprechende Seite geben.
Leider hast du meine Frage glaub ich missverstanden. Die Seifenblasenmethode soll beweisen, dass sich die Oberfläche einer Kugel durch die Formel 4*pi*r^2 berchenen lässt.
Ich weiß so viel, dass man das die Flüssigkeitsmenge einer Seifenblase auf zwei Arten berechnet:
Einmal zieht man das Volumen der Außenkugel vom Volumen der Innenkugel ab und andererseits multipliziert man, aus mir unverständlichen Gründen,die Oberfläche der Innenkugel mit der Wanddicke. Schließlich löst man nach der Kugeloberfläche auf und lässt d gegen 0 gehen.
Aber warum bezeichnet das Produkt der Oberfläche der Innenkugel und der Wanddicke das Flüssigkeitsvolumen der Seifenblase?
Hallo dollardollar
Seifenblasen tendieren wegen ihrer Obrerflächenspannung dazu,
eine sogenannte Minimalfläche zu bilden.
Nimm Beispielsweise einen Drahtring und tunke ihn in eine
Seifenlösung. Die Seifenhaut im Ring bildet dann eine Ebene
(ist in diesem Fall die kleinstmögliche Oberfläche). Wenn du
den Drahtring ein bischen zerknautschst wird auch die
Seifenhaut eine andere Form annehmen. Es wird aber immer die
Fläche mit der minimalen Oberfläche sein.Eine Seifenblase ist der Spezialfall, dass keine Begrenzung
vorhanden ist. Und weil die Kugel bei gegebenem Volumen die
kleinste Oberfäche hat, bilden sich aus Seifenblasen eben
Kugeln, und kein Würfel, Oktaeder oder sonstwas.
Hoffe geholfen zu habenViele Grüsse
Tommy
…jetzt weiss ich, glaube ich jedenfalls, was Du meinst.
Ich weiß so viel, dass man das die Flüssigkeitsmenge einer
Seifenblase auf zwei Arten berechnet:
Einmal zieht man das Volumen der Außenkugel vom Volumen der
Innenkugel ab
Das ist die exakte Berechnung für alle Fälle
und andererseits multipliziert man, aus mir
unverständlichen Gründen,die Oberfläche der Innenkugel mit der
Wanddicke.
Das ist eine Näherungslösung für sehr dünne Wanddicken. Man kann die Kugeloberfläche wie eine ebene Fläche betrachten. Bei einer ebenen Fläche erhälst Du auch das Volumen als Produkt aus Fläche und Höhe. Z.B. 1m^2 * 1m = 1 m^3
Wenn Du auf der Erde stehst und das Volumen eines 1 m tiefen Beckens ausrechnen willst, machst Du es doch auch so, obwohl die Erdoberfläche gekrümmt ist. Wenn nun die gesammte Erde mit einer 1m hohen Wasserschicht bedeckt wäre, erhälst Du das Wasservolumen wieder als Produkt aus Oberfläche und Wassertiefe.
Je dünner die Schicht gegenüber dem Radius ist, desto mehr näherst Du Dich dem exakten Wert.
Schließlich löst man nach der Kugeloberfläche auf
und lässt d gegen 0 gehen.
Dann hast Du den exakten Wert
Aber warum bezeichnet das Produkt der Oberfläche der
Innenkugel und der Wanddicke das Flüssigkeitsvolumen der
Seifenblase?
Ich hoffe, das ist jetzt klar
Jörg
Also, ich muss schon sagen…
Einmal zieht man das Volumen der Außenkugel vom Volumen der
Innenkugel ab und andererseits multipliziert man, aus mir
unverständlichen Gründen,die Oberfläche der Innenkugel mit der
Wanddicke. Schließlich löst man nach der Kugeloberfläche auf
und lässt d gegen 0 gehen.
… ziemlich genialer Trick ist das! Wenn ich so nachdenke, wüßte ich auch gar nicht, wie man die Kugeloberfläche sonst ohne Differentialrechnung rauskriegt. Man lernt wirklich nie aus.
Gruß
Oliver
… ziemlich genialer Trick ist das! Wenn ich so nachdenke,
wüßte ich auch gar nicht, wie man die Kugeloberfläche sonst
ohne Differentialrechnung rauskriegt.
Hi Oliver,
Du kannst die Kugeloberfläche auch berechnen, wenn Du außer der Formel für das Kugelvolumen noch die für das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h kennst: VPyramide = 1/3 G h.
Denk Dir die Kugel aus vielen schmalen „Eistüten“ zusammengesetzt, deren Spitzen sich alle im Kugelmittelpunkt treffen (klar: „viel“ = unendlich viel, „schmal“ = infinitesimal schmal). Die Summe der Grundflächen aller Eistütenpyramiden ist dann gerade die Kugeloberfläche S und mit einem Einzeiler bist Du fertig:
G = S, h = R ==\> 4/3 pi R^3 = 1/3 S R ==\> S = 4 pi R^2
Mit freundlichem Gruß
Martin
gefällt mir fast noch besser (o.w.T.)
…