Seitenhalbierende,mittelsenkrechte&höhengerade

Wissenschaft Mathematik
#1

hallo!
ich schreibe am montag eine matheklausur(klasse11) & ich rechne eineige aufgaben im mathebuch.
bei einer aufgabe komme ich aber nicht weiter:

A(-2;-1) B(6;-3) & C(-2;5) sind eckpunkte eines dreiecks.
a) bestimme für dieses dreieck gleichungen

  1. der seitenhalbierenden; 2. der mittelsenkrechten; 3.der Höhengeraden.
    zeige, dass sich die geraden jeweils in einem punkt schneiden.

b) berechne den umfang & den flächeninhalt des dreiecks.

zu dem zeitpunkt als wir dieses thema besprochen haben war ich nicht in der schule & ich hatte nicht mehr die gelegenheit den lehrer zu fragen.
ich habe auch einige leute aus dem kurs gefragt aber die meisten haben das gar nicht verstanden.
jetzt seid ihr meine letzte hoffnung…

freue mich auf schnelle hilfe!

vielen dank & liebe grüße:smile:

#2

hi,

A(-2;-1) B(6;-3) & C(-2;5) sind eckpunkte eines dreiecks.
a) bestimme für dieses dreieck gleichungen

  1. der seitenhalbierenden; 2. der mittelsenkrechten; 3.der
    Höhengeraden.
    zeige, dass sich die geraden jeweils in einem punkt schneiden.

welche art von geradengleichungen sind denn gefragt? vektorielle oder funktionsgleichungen?
wie unterscheidet ihr „seitenhalbierende“ und „mittelsenkrechte“? das ist für mich das gleiche. (könnte sein, dass mit seitenhalbierende die trägergerade der schwerlinie gemeint ist; wär aber sehr unüblich.)

vermutlich vektoriell. dann brauchst du zunmächst die verbindungsvektoren AB, AC und BC

A(-2;-1) B(6;-3) & C(-2;5)
AB = B - A = (8; -2)
AC = C - A = (0; 6)
BC = C - B = (-8; 8)

für die seitenhalbierenden = mittelsenkrechten benötigst du den mittelpunkt einer seite und den (bzw. einen) auf diese seite normalen vektor.

der mittelpunkt E zwischen A und B ist E = (A+B)/2 = (2; -2)
ein normalvektor zu AB als richtungsvektor der seitenhalbierenden ist z.b. (-2; -8), vereinfacht auch zu (1; 4)

die seitenhalbierende zur seite c (zwischen A und B) ist dann:
sc: X = E + s . (!; 4)
bzw.
sc: X = (2; -2) + s . (1; 4)

für die höhengerade hängst du den richtungsvektor nicht am mittelpunkt der seite, sondern am gegenüberliegenden eckpunkt an. das wär dann:
hC : X = (-2; 5) + s . (1; 4)

b) berechne den umfang & den flächeninhalt des dreiecks.

umfang: die summe der abstände zwischen den eckpunkten, also die summe der beträge der vektoren AB, AC und BC

für die fläche gibts mehrere möglichkeiten: wie solls denn sein? vermutlich sollt ihr die länge einer höhe = der abstand eines eckpunkts vom schnittpunkt der höhengeraden mit der gegenüberliegenden seite berechnen und den mit der länge der gegenüberliegenden seite multiplizieren (und dann noch durch 2 teilen):

F = a * ha / 2

ist viel rechnerei, v.a. hier online. vielleicht reichts einstweilen so.

lg
m

#3

Hey Michael,

in der 11. Klasse wird normal noch keine Vektorrechnung gemacht. Zumindest war des bei dem 13-jährigen Abitur so :wink:

Zu der Problematik der Seitenhalbierenden und der Mittelsenkrechten:
Beide gehen zwar durch den gleichen Punkt (Mittelpunkt der Gerade), aber die Mittelsenkrechte schneidet die Gerade eben senkrecht und die Seitenhalbierende geht sowohl durch den Mittelpunkt als auch durch den anderen Punkt des Dreiecks.
Es muss also nicht die gleiche Gerade sein.

Sollte es nicht vektoriell zu berechnen ist, braucht man für jede Gerade jeweils 2 Punkte oder eine Steigung.
-Die Seitenhalbierenden sollten also kein Problem darstellen, da man dazu nur die Mittelpunkte mit der gegenüberliegenden Ecke in eine Geradengleichung einsetzen muss.

-Bei den Mittelsenkrechten ist es etwas umständlicher:
z.B. bei der Mittelsenkrechten von AB, brauchst du zuerst die Funktionsgleichung von der Gerade durch A und B. Dann berechnest du die Steigung m der Gerade und weißt somit also auch, welche Steigung die Gerade haben muss, die AB senkrecht schneidet: -1/m
Mit dieser Steigung und dem Mittelpunkt kann man nun die Geradengleichung für die Mittelsenkrechte aufstellen.

-Bei der Höhengeraden benutzt du wieder die Steigung der Geraden AB, AC sowie BC, um die Steigung der Höhen auszurechnen (ist die gleiche wie bei der Mittelsenkrechten, da die Höhen immer senkrecht zur Grundseite stehen).
Für die explizize Geradengleichung musst du jetzt nur noch einen Punkt einsetzen, von dem du weißt, dass er auf dieser Höhengleichung liegt: Dies wäre also der Eckpunkt, von dem die Höhe aus gerechnet werden soll. Sprich bei der Höhe C von AB, setzt du in deine Geradengleichung die Steigung -1/m (m=Steigung von AB) und C als Punkt ein.
So kannst du die Gleichung ausrechnen.

Ich hoffe, ich konnte es erklären. Wie gesagt, ist es langwierig hier die Rechnungen aufzuschreiben.

Viel Glück bei der Klausur
Gruß René

#4

(könnte sein, dass mit seitenhalbierende die trägergerade der
schwerlinie gemeint ist; wär aber sehr unüblich.)

Hallo Michael,

Hier in Deutschland (Ost) ist die Seitenhalbierende im Dreieck tatsächlich die Trägergerade der Schwerlinie, und Wiki kennt das auch (http://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende). Selbst im Studium hießen die Seitenhalbierenden Seitenhalbierende, es ist also nicht einmal so ein „Schulding“ wie z.B. diese unsägliche Darstellung von Geraden als g:x=p+t.v anstatt g={x=p+t.v|t in R} oder die Definition „Vektoren sind Verschiebungen“.
Wie sagt Ihr denn in Österreich dazu? Oder sind die Seitenhalbierenden dort kein Schulstoff?

Liebe Grüße
Immo