Sekretärinnenproblem

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

http://de.wikipedia.org/wiki/Sekret%C3%A4rinnenproblem

Kann mir vielleicht jemand erklären wieso die Wahrscheinlichkeit, dass der Zweitbeste Bewerber unter den ersten Abgelehnten r/(a-1) ist? Müsste das nicht r/n sein?

1/n nehme ich mal weil das die Wahrscheinlichkeit ist, dass der beste Bewerber nicht unter den ersten r ist oder?

Und wieso Summier ich dann alles auf?!

Liebe Grüße

#2

Hallo,

Kann mir vielleicht jemand erklären wieso die
Wahrscheinlichkeit, dass der Zweitbeste Bewerber unter den
ersten Abgelehnten r/(a-1) ist? Müsste das nicht r/n sein?

Es geht nicht um den zweitbesten Bewerber insgesamt sondern um den zweitbesten Bewerber unter den ersten a Bewerbern.

Das Problem wird zweistufig angegangen.
Erst einmal betrachtest Du den Fall, dass der beste Bewerber A an der (festen) Stelle a ist. Nun betrachtest Du den zweitbesten Bewerber B unter den ersten a Bewerbern und untersuchst, ob dieser unter den ersten r Bewerbern ist.

  1. Er ist unter den ersten r Bewerbern. Da Du nach Anschauen der ersten r Bewerbern den nächsten wählst, der besser ist als alle bisher angeschauten, wählst Du den besten Bewerber, da alle anderen, die Du Dir bis A anschaust, schlechter als B sind. In dem Fall hast Du gewonnen.
  2. B ist nicht unter den ersten r Bewerbern. Nach dem Anschauen der ersten r Bewerbern wirdst Du anschließend B wählen (da dieser besser ist als die vorigen r Bewerber) oder sogar einen Bewerber vor B. Auf jeden Fall kommst Du nicht bis zu A, also wählst Du insgesamt nicht den besten Bewerber und hast verloren.

Nun ist der zweitbeste Bewerber B unter den ersten a Bewerbern identisch mit dem besten Bewerber unter den ersten a-1 Bewerbern, da ja A an der Position a der beste Bewerber ist. Du hast also gewonnen in dem Fall, dass der beste Bewerber unter den ersten a-1 Bewerbern auch unter den ersten r Bewerbern ist. Dies ist die Wahrscheinlichkeit r/(a-1).
Damit ist r/(a-1) die Wahrscheinlichkeit, dass wir den besten Bewerber wählen, bedingt darauf, dass der beste Bewerber an der Stelle a ist.

Nun müssen wir alle Fälle für den besten Bewerber durchgehen. Ist er unter den ersten r Fällen, dann wählen wir ihn nicht. Daher geht die Summe erst bei r+1 los. Die Wahrscheinlichkeit, den besten Bewerber zu wählen ist die Summe aller Positionen a von r+1 bis n vom Produkt der Wahrscheinlichkeit, dass der beste Bewerber an der Position a ist (= 1/n) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass wir den besten Bewerber wählen, bedingt darauf, dass der beste Bewerber an der Stelle a ist (= r/(a-1)). Dies ist die Formel, die bei Wikipedia angegeben ist.

Ich hoffe, meine Erklärung ist verständlich.

Diether

#3

Hi,

vielen Dank für deine Antwort. Aber ich bin jetzt fast noch mehr verwirrt :stuck_out_tongue:

Ich dachte a wäre die Stelle des besten Bewerbers. Dann ist doch a-1 die Stelle vor dem besten Bewerber. Wieso ist das dann identisch mit dem Zweitbesten Bewerber?

„Die Wahrscheinlichkeit, den besten Bewerber zu wählen ist die Summe aller Positionen a von r+1 bis n vom Produkt der Wahrscheinlichkeit, dass der beste Bewerber an der Position a ist (= 1/n) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass wir den besten Bewerber wählen, bedingt darauf, dass der beste Bewerber an der Stelle a ist (= r/(a-1))“

Den Satz verstehe ich leider garnicht. Wieso summiere ich denn Überhaupt die Wahrscheinlichkeiten?

Liebe Grüße

#4

Hallo cantharis,

vielen Dank für deine Antwort. Aber ich bin jetzt fast noch
mehr verwirrt :stuck_out_tongue:

Ich dachte, antworten sollten helfen, nicht verwirren. Dann probiere ich meine Erklärung mit konkreten Beispielen.

Ich benenne die Bewerber A - H, dabei ist A der beste Bewerber, B der zweitbeste usw. Damit ist n=8 und wir nehmen r=3.
Bei der Reihenfolge CAHDEBGF wird nicht der beste Bewerber genommen, da die ersten drei Bewerber nicht gewählt werden.
Bei der Reihenfolge GCDFAHBE wird der beste Bewerber genommen,
bei der Reihenfolge GCDFBHAE nicht.

Wir betrachten den Fall GCDFAHBE. Dann ist a=5. Der zweitbeste Bewerber unter den ersten 5 Bewerbern ist C. Da wir schon wissen, dass der beste Bewerber der 5. ist, ist der zweitbeste Bewerber unter den ersten 5 gleich dem zweitbesten Bewerber unter den ersten 4.
Da ich nach den ersten 3 Bewerbern den nächsten wähle, der besser ist als alle bishergesehenen (also besser als die ersten drei) wähle ich genau dann richtig A, wenn der beste Bewerber x von denen vor A (also von den ersten 4) unter die ersten 3 fällt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit r/(a-1), hier 3/(5-1), da es für x (hier C) r „gute“ von a-1 möglichen Positionen gibt.

Nun haben wir nur die Position 6 von A betrachtet. Ausgeschrieben ist die Gewinnwahrscheinlichkeit
P(A wird gewählt)
= Summe über a=1 bis 8 P(A wird gewählt und A ist an Position a)
= Summe über a=1 bis 8 P(A wird gewählt | A ist an Position a) * P(A ist an Position a)
(erst Zerlegung in disjunkte Ereignisse, dann Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit).

P(A wird gewählt | A ist an Position a) hatten wir oben. Die Wahrscheinlichkeit ist 0 für a3.
P(A ist an Position a) ist 1/n.
Damit ist für das Beispiel n=8 und r=3 die Wahrscheinlichkeit P(A wird gewählt) = Summe über a=1 bis 3 0*1/8 + Summe über a=4 bis 8 3/(a-1)*1/8 = 3/3*1/8 + 3/4*1/8 + 3/5*1/8 + 3/6*1/8 + 3/7*1/8 = 3*1/8*(1/3+1/4+1/5+1/6+1/7) ~ 41%

Ich hoffe, Dir ist mit dem Beispiel die Lösung klarer geworden.

Viele Grüße
Diether

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#5

Super Erklärung vielen Dank :smiley:!!

Schönes Restwochenende noch ^^