Servus liebe mathematiker

Wissenschaft Mathematik
#1

also ich weis des klinkt jez blöd aber ich rechne halt gerne diese aufgabe macht mich aber echt fertig …
In der großen Tiefebene von Transportanien liegen die Städte A, B, C und D. Die gegenseitige Lage der Städte ist sehr regelmäßig. Sie bilden nämlich ein Quadrat von 100 km Seitenlänge.
Nun soll zwischen den 4 Städten ein Streckennetz für eine Magnetschwebebahn gebaut werden. Dabei sind Umsteigebahnhöfe zugelassen, auch wenn sie nicht in den Städten liegen.
Aus Kostengründen, der Schnelligkeit wegen und um die Umwelt zu schonen soll die Gesamtlänge des Streckennetzes so klein wie möglich sein.

Wie muss ein derartiges Streckennetz aussehen? Beweise, dass es die geforderte minimale Gesamtlänge hat.

vielleicht könnt ihr mir ja helfen und vorallem erklären
also ich hab echt kein plan aber danke im voraus

#2

Klar ist, dass es ein X sein muss. Aber um zu beweisen, dass dieses Netz am kürzesten ist, bin ich auch zu dumm. Aber vielleicht hilft es dir, schon einmal das Ziel vor Augen zu haben.

#3

also ich weiß das klingt jetzt blöd aber ich rechne halt gerne
diese Aufgabe macht mich aber echt fertig …
In der großen Tiefebene von Transportanien liegen die Städte
A, B, C und D. Die gegenseitige Lage der Städte ist sehr
regelmäßig. Sie bilden nämlich ein Quadrat von 100 km
Seitenlänge.
Nun soll zwischen den 4 Städten ein Streckennetz für eine
Magnetschwebebahn gebaut werden. Dabei sind Umsteigebahnhöfe
zugelassen, auch wenn sie nicht in den Städten liegen.
Aus Kostengründen, der Schnelligkeit wegen und um die Umwelt
zu schonen soll die Gesamtlänge des Streckennetzes so klein
wie möglich sein.

Wie muss ein derartiges Streckennetz aussehen? Beweise, dass
es die geforderte minimale Gesamtlänge hat.

vielleicht könnt ihr mir ja helfen und vor allem erklären
also ich habe echt keinen Plan, aber danke im voraus

Beweisen kann ich es nicht, aber naheliegend wäre es doch, einfach die beiden Diagonalen im Quadrat zu nehmen, und an deren Schnittpunkt einen Umsteigebahnhof zu machen…?

#4

Hallo.

Also die Lösung ist recht einfach - da Umsteigen erlaubt ist, sind es die beiden Diagonalen des Quadrats. Diese haben jeweils eine Länge von 141,42 km (Wurzel aus 20000 - aus dem Satz von Pythagoras), das Gesamtnetz somit eine Länge von 242,84km.

Rein anschaulich lässt sich dies auch leicht erklären. Nimmt man einen Punkt und verbindet die drei anderen direkt damit, kommt man auf eine Länge von 100km+100km+141,42km = 341,42km. Somit kann nur mit dem Mittelpunkt des Quadrats eine kürzere Gesamtstrecke erreichen.

Ein möglicher Beweis könnte ein Widerspruchsbeweis sein. Man versucht ausgehend von einer Stadt einen kürzeren Gesamtweg zu finden und zeigt, dass dies nicht möglich ist.

Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen.
Viele Grüße.

#5

hääää aber eine seitenlänge ist doch schon 100 km und es gibt vier oder … also insgesamt 642,84

#6

In der großen Tiefebene von Transportanien liegen die Städte
A, B, C und D. Die gegenseitige Lage der Städte ist sehr
regelmäßig. Sie bilden nämlich ein Quadrat von 100 km
Seitenlänge.
Nun soll zwischen den 4 Städten ein Streckennetz für eine
Magnetschwebebahn gebaut werden. Dabei sind Umsteigebahnhöfe
zugelassen, auch wenn sie nicht in den Städten liegen.
Aus Kostengründen, der Schnelligkeit wegen und um die Umwelt
zu schonen soll die Gesamtlänge des Streckennetzes so klein
wie möglich sein.

Wie muss ein derartiges Streckennetz aussehen? Beweise, dass
es die geforderte minimale Gesamtlänge hat.

Hallo Arber Beqiri,

Du musst zusätzliche Knoten einrichten nach folgendem Schema:

A o o B
\ /
\ /
\ /
R x------x S
/ \
/ \
/ \
D o o C

Die zusätzlichen Knoten werden übrigens „Steinerpunkte“ genannt.

Du musst dann die Summe der Strecken AR, RD, RS, SB und SC minimieren.
Dabei darfst Du annehmen, dass der Graph symmetrisch ist.

Ich gehe davon aus, dass ich Dir nicht zeigen muss,
wie man das Minimum der Streckenlänge ermittelt.
Nötigenfalls musst Du nochmal schreiben.

Soviel sei zur Lösung gesagt:

Alle Winkel ARD, SRA, SRD, BSR ,BSC und CSR
sind betragmäßig gleich groß.

Viel Erfolg

AGb

#7

Ähmm, nein.

Das Quadrat sieht doch so aus:

a b

c d

Die Strecken von a nach b, von b nach d, von a nach c und von c nach d sind 100 km lang.
Dann ist die Diagonale von a nach d die Wurzel aus 100^2 + 100^2, ebenso die Diagonale von b nach c. Mit den zwei Diagonalen kommst Du überall hin, wenn Du am Schnittpunkt (dem Mittelpunkt des Quadrats) umsteigen kannst.
Die Seiten brauchst Du doch gar nicht.

hääää aber eine seitenlänge ist doch schon 100 km und es gibt
vier oder … also insgesamt 642,84

#8

Ich habe keine Ahnung

#9

habe leider noch keine Idee. sorry
Gruß von Max

#10

Hallo Arber,

‚also ich weis des klinkt jez blöd aber ich rechne halt gerne‘, nur ‚richtige‘ Aufgaben und deshalb habe ich ‚echt‘ keine Zeit und ‚ehrlich‘ keine Lust, mich mit Deiner Aufgabe zu beschäftigen.

Sorry, Michael.

#11

Vielleicht gibt es hier

http://www.mathematik-olympiaden.de/archiv.html

eine ähnliche Aufgabe

#12

Klingt wie eine Hausaufgabe :wink:

Daher nicht die komplette Lösung, sondern nur einige Hinweise:

  • Überlege Dir erstmal das ideale Streckennetz für drei Punkte, genauer für den Spezialfall des regelmäßigen Dreiecks. Das werden entweder die Kanten selber sein, oder die drei zusammengenommenen Verbindungen zu einem Punkt (=Umsteigebahnhof), von dem aus gesehen sich keiner der drei Eckpunkte auszeichnet (sollte nicht zu schwer rauszubekommen sein, welcher Punkt das ist).
  • Zeige, dass für jede kleine Verschiebung entlang einer der ausgezeichneten Achsen dieses Punktes die Distanz zunimmt, also dass Du in einem Minimum sitzt.
  • Jede andere Verschiebung lässt sich aus diesen addieren und folgt entsprechend den Gesetzmäßigkeiten.
  • Überlege Dir, ob es Sinn macht, irgendwo einen zweiten Punkt einzufügen (wo?)

Das mit dem Dreieck brauchst Du nicht wirklich für den Beweis für das Quadrat, aber es macht die Vorgehensweise klar.

  • Übertrage diese Situation nun auf das Quadrat. Auch hier wird wirst Du zunächst einen einzelnen Punkt finden müssen, gegenüber dem sich die Ecken nicht einzeln auszeichnen.
  • Zeige ob eine Verschiebung des Punktes wie oben eine Verbesserung bringt (=> finde das Minimum).
  • Denke Dir nun, dass der einzelne Punkt im Minimum aus zwei Punkten besteht. Zeige, dass ein separieren der Punkte entlang der ausgezeichneten Achsen keinen Vorteil bringt.
  • Überlege, ob es Sinn macht, einen dritten Punkt einzufügen.
  • Dass es keinen Sinn macht, einen vierten Punkt einzufügen, kann man durch Analogieschluss zeigen

Ich bin mir nicht sicher, dass der Beweis so geführt 100% wasserdicht ist, aber es ist zumindest ein Anfang.

Liebe Grüße,

Harald

#13

Ich verstehe die Fragestellung nicht richtig.

„Beweise, dass es die geforderte minimal Gesamtlänge hat“

Ich habe jetzt einfach eine Lösung zusammen gestellt, so wie ich das ganze verstehe. Du kannst sie dir einfach als PDF öffnen.

https://dl.dropbox.com/u/43149366/L%C3%B6sung_Bahnho…

Lg und ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.

#14

Hallo, eine echt gemeine Aufgabe - zu schwer für mich, leider. Wenn Dir jemand eine interessante und verständliche Lösung zugesendet haben sollte, würde mich die interessieren.
Danke im Voraus,
Max

#15

Diese realitätsnahen Matheaufgaben immer …
Du bist auch mehr Mathe als Deutsch Fan, was xD

also es klingt, also sollte das eine Extremwertaufgabe sein, aber da fehlt ja jeder Inhalt.

sowohl Umfang als auch Flächeninhalt ist durch die Aufgabe determiniert. Möglich wären noch Verbindungen als Diagonalen.

Die Aufgabe ist auch in sich unlogisch.

Es soll ein ganzes Netz für nur eine Bahn gebaut werden?
Umsteigebahnhöfe impliziert ja schon mehrere, die sind aber gar nicht nötig, eine Bahn, die immer im Kreis fährt, wenn bei den Diagonalen noch andere Bahnen fahren, dann wären diese Umsteigebahnhöfe in den 4 Städten und in der Mitte. Diese Überlegung widerspricht aber den 3 gesetzten Zielen (Billig, Schnell, Öko)
Die Ziele sind auch untereinander nicht verträglich und vor Allem ungenau (SMART-Formel nicht beachtet): ist mit „Schnelligkeit“ die des Aufbaus, der Bahn oder eine Kürze der Reisezeit gemeint?

Außerdem wird keine Minimale Gesamtlänge gefordert.

Man könnte sich jetzt einfach blöd stellen und antworten: Das Netz muss die Form eines Körpers haben, auf dessen Kanten die Städte liegen, also ein Quadrat oder auch ein Kreis. Im QU-Fall wäre die Gesamtlänge 4*100km=400km>100km.

Aber diese Lösung ist genauso schwammig wie die Aufgabe.

Wo hast du die her und wie viele Punkte soll es darauf geben?

Mit verärgerten Grüßen