Der Sachverhalt ist etwas kurios. Denn das Sozialamt übernimmt die Miete (natürlich dann nur im Rahmen einer angemessenen Wohnung) nur dann, wenn schon vor Beginn des Haftantritts klar ist, dass die Haft nicht länger als sechs Monate dauern wird. D.h. an sich kann der Fall
gar nicht eintreten. Entweder es wurden maximal sechs Monate ausgeurteilt, dann übernimmt das Sozialamt auf Antrag, oder es wurde eine längere Haftstrafe ausgeurteilt, dann übernimmt das Sozialamt nicht.
Im Übrigen ist das auch kein „Angebot“, sondern eine Erklärung des Sozialamtes, dass es die Miete übernehmen wird. D.h. man hat da als Vermieter kein „Wahlrecht“, ob man dieses Angebot annimmt, oder nicht.
Für den Vermieter ist es angesichts der Differenz jetzt so, dass er abwarten muss, ob die anderweitig gedeckt wird (kann ja sein, dass der Mieter kleine Rücklagen/Verwandtschaft/Freunde hat, die dafür gerade stehen). Kommt es nicht zur Deckung, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder fristlose Kündigung, wenn zwei Monatsmieten erreicht sind, oder fristgerechte Kündigung, wenn eine Monatsmiete erreicht ist. Letztere Variante dauert zwar länger hat aber den Vorteil, dass der Kündigungsgrund nicht wegfällt, wenn die Mitzahlung nachgeholt wird, was bei einer fristlosen Kündigung der Fall wäre. Bei hohen Rückständen wird daher üblicherweise sowohl fristlos als auch fristgerecht gekündigt. Da hier aber der Minderbetrag erst über sehr lange Zeit die Höhe der 2. Monatsmiete erreichen wird, sollte man hier fristgerecht kündigen, sobald der erste Monat voll ist (falls der Mieter dann nicht schon wieder draußen ist, und seine Rückstände bezahlt).