Hallo!
Ein Wirt bei uns im Ort hat durchnummerierte Getränkekarten ausgegeben, und verspricht, demjenigen, der aus drei Karten zusammen 100, 200 oder 300 usw. Punkte erreicht, einen Abend alle Getränke zu sponsern.
Die Frage ist nun, wie viele Möglichkeiten es gibt, daß er einem Kunden einen Frei-Abend spendiert, wen er 100 Karten ausgibt.
Gibt es dafür eine Formel?
Gruß
Tim
Wenn ich der Wirt wär,…
Hi,
…würde ich nur ungerade Nummern rausgeben. 
Um zu sagen, wie viele Möglichkeiten es gibt, müssen wir wissen, wie die Karten nummeriert sind.
Gruß.Timo
Hi,
…würde ich nur ungerade Nummern rausgeben.
Nunja, ich glaub, das würde man durchschauen! 
Also, die Karten sind von 1-100 durchnummeriert. Wenn jemand eine Kombination von drei Karten abgibt, ist sie aus dem Spiel.
Tim
Also, die Karten sind von 1-100 durchnummeriert. Wenn jemand
eine Kombination von drei Karten abgibt, ist sie aus dem
Spiel.
Dann kann man 300 mit drei Karten jawohl nicht erreichen, oder?
Grüße,
Anwar
Holla.
Ein Wirt bei uns im Ort hat durchnummerierte Getränkekarten
ausgegeben, und verspricht, demjenigen, der aus drei Karten
zusammen 100, 200 oder 300 usw. Punkte erreicht, einen Abend
alle Getränke zu sponsern.
300 Punkte geht nicht, wenn die Karten von 1 bis 100 laufen.
Eine geschlossene Formel kann ich mir nicht vorstellen - einen Algorithmus schon. Zum Bleistift mit drei Schleifenvariablen. Bei mir kommen 8844 "Gewinn"möglichkeiten raus, wobei natürlich Doppelmopplungen sind. Bei 941094 Kombinationen insgesamt muss der Wirt also bestenfalls jeden 106. Gast freihalten. Da er aber nur 33 Teilnehmer haben kann, ist das Risiko recht gering.
Wenn er die Karten für je 50 Cent abgibt, macht er schon ein Geschäft : 99 mal 50 Cent sind 49 Euro 50. Davon kann man schon einige Getränke einkaufen, und für eine Vollnarkose wirds reichen …
Aber ist es nicht eher so, dass er drei Kartensätze von 1 bis 100 hat?
Gruß Eillicht zu Vensre
Holla.
Ein Wirt bei uns im Ort hat durchnummerierte Getränkekarten
ausgegeben, und verspricht, demjenigen, der aus drei Karten
zusammen 100, 200 oder 300 usw. Punkte erreicht, einen Abend
alle Getränke zu sponsern.300 Punkte geht nicht, wenn die Karten von 1 bis 100 laufen.
Stimmt, allerdings läuft es in der Realität so, dass die Karten auch über 100 hinaus ausgegeben werden. Für das Rätsel beschränkt man sich aber auf die Karten bis Hundert.
Eine geschlossene Formel kann ich mir nicht vorstellen - einen
Algorithmus schon. Zum Bleistift mit drei Schleifenvariablen.
Bei mir kommen 8844 "Gewinn"möglichkeiten raus, wobei
natürlich Doppelmopplungen sind. Bei 941094 Kombinationen
insgesamt muss der Wirt also bestenfalls jeden 106. Gast
freihalten. Da er aber nur 33 Teilnehmer haben kann, ist das
Risiko recht gering.
Die Kombinationsmöglichkeiten sind natürlich viel höher als die Zahl derer, die dann wirklich gewinnen.
Ich komme auf 16 Möglichkeiten:
1+2+97
3+4+93
5+6+89
und so weiter. Das geht bis zu 16 mal, danach brauch man wieder Zahlen, die in anderen Beispielen schon benutzt wurden.Da die Karten aber abgegeben werden, fallen andere Kombinationsmöglichkeiten dann ja raus. Also, wenn jemand die Karten 1+2+97 abgibt, kann kein anderer mehr z.B. die 97+96+7 abgeben.
Ich bräuchte halt nur eine Formel oder so was ähnliches um es zu beweisen.
Aber ist es nicht eher so, dass er drei Kartensätze von 1 bis
100 hat?
Nee!
Dann kann man 300 mit drei Karten jawohl nicht erreichen,
oder?
Nein, siehe oben!
Hi…
Ein Wirt bei uns im Ort hat durchnummerierte Getränkekarten
ausgegeben, und verspricht, demjenigen, der aus drei Karten
zusammen 100, 200 oder 300 usw. Punkte erreicht, einen Abend
alle Getränke zu sponsern.
Die Kombinationsmöglichkeiten sind natürlich viel höher als
die Zahl derer, die dann wirklich gewinnen.
Ich komme auf 16 Möglichkeiten:
Ganz so einfach ist es nicht. Trotzdem stimmt Dein Ergebnis
Ich bräuchte halt nur eine Formel oder so was ähnliches um es
zu beweisen.
Ich kann Dir eine Näherung liefern:
Gehen wir davon aus, daß es nur einen Spieler gibt, oder, was wahrscheinlicher ist, daß sich die Spieler untereinander absprechen und Karten tauschen.
Solange noch alle Karten „im Spiel“ sind, gibt es zu jeder ungeraden Zahl 49, zu jeder geraden Zahl 48 mögliche Kombinationen von zwei anderen Zahlen, um die Summe 100 oder 200 zu erreichen. Die Karte 100 ist die Ausnahme, für die gibt es 49 Möglichkeiten.
Im Mittel gibt es also zu jeder Zahl 48,51 Möglichkeiten. Wenn der erste Gewinner drei Karten abgibt, fallen alle Möglichkeiten heraus, die eine dieser drei Zahlen benötigen. Das sind, wiederum im Mittel, 3 Möglichkeiten pro Zahl. So geht es weiter, was bedeutet, in einer solchen Spielrunde können durchschnittlich 48/3 = 16 Kombinationen abgegeben werden.
Werden mehr als 100 Karten ausgegeben, steigt die Gewinnwahrscheinlichkeit geringfügig und nähert sich 1/6. Auf lange Sicht muß der Wirt also damit rechnen, daß auf 6 ausgegebene Karten ein Gewinner kommt.
genumi
Gehen wir davon aus, daß es nur einen Spieler gibt, oder, was
wahrscheinlicher ist, daß sich die Spieler untereinander
absprechen und Karten tauschen.
Ja genau. Wir gehen vom Idealfall aus, also, dass alle möglichen Kombinationen auch abgegeben werden.
Solange noch alle Karten „im Spiel“ sind, gibt es zu jeder
ungeraden Zahl 49, zu jeder geraden Zahl 48 mögliche
Kombinationen von zwei anderen Zahlen, um die Summe 100 oder
200 zu erreichen. Die Karte 100 ist die Ausnahme, für die gibt
es 49 Möglichkeiten.
Wie kommst du auf die Anzahl der Möglichkeiten? Zumindest dafür gibt es doch eine formel, oder?
Im Mittel gibt es also zu jeder Zahl 48,51 Möglichkeiten. Wenn
der erste Gewinner drei Karten abgibt, fallen alle
Möglichkeiten heraus, die eine dieser drei Zahlen benötigen.
Das sind, wiederum im Mittel, 3 Möglichkeiten pro Zahl. So
geht es weiter, was bedeutet, in einer solchen Spielrunde
können durchschnittlich 48/3 = 16 Kombinationen abgegeben
werden.
Soweit, so gut. Wieso sind es drei Möglichkeiten, die wegfallen?
Werden mehr als 100 Karten ausgegeben, steigt die
Gewinnwahrscheinlichkeit geringfügig und nähert sich 1/6. Auf
lange Sicht muß der Wirt also damit rechnen, daß auf 6
ausgegebene Karten ein Gewinner kommt.genumi
Vielen Dank!
Hi…
Solange noch alle Karten „im Spiel“ sind, gibt es zu jeder
ungeraden Zahl 49, zu jeder geraden Zahl 48 mögliche
Kombinationen von zwei anderen Zahlen, um die Summe 100 oder
200 zu erreichen. Die Karte 100 ist die Ausnahme, für die
gibt es 49 Möglichkeiten.
Wie kommst du auf die Anzahl der Möglichkeiten?
Ich hab sie gezählt
Nein, ernsthaft:
Für eine beliebige Karte X suchen wir zwei Karten A und B, so daß die Summe A+B+X 100 oder 200 ergibt.
Da X weg ist, bleiben noch 99 Möglichkeiten für A. Zu jeder dieser 99 Kombinationen X+A gibt es entweder
genau ein B, so daß A+B+X = 100
genau ein B, so daß A+B+X = 200
kein B, das eine der Bedingungen erfüllt. Das passiert, wenn B=A oder B=X sein müsste, um die Summe zu erreichen
Hier müssen wir einige Fälle unterscheiden (jeweils links die Bedingung für X, rechts die A, zu denen es kein B gibt):
+-------------------------+--------------------+
| X ungerade, X 50 | 200 - 2 X |
+-------------------------+--------------------+
| X gerade, X Es bleiben also für gerade X (außer 100) 96, für X=100 und ungerade X 98 Möglichkeiten für A. Davon ist jeweils die Hälfte identisch, weil A und B austauschbar sind (Beispiel: X = 90; A=9, B=1 oder A=1, B=9). Folglich sind es für X=100 und ungerade X nur 49 verschiedene Möglichkeiten, für gerade X 48.
> > Im Mittel gibt es also zu jeder Zahl 48,51 Möglichkeiten. ::Wenn der erste Gewinner drei Karten abgibt, fallen alle
> > Möglichkeiten heraus, die eine dieser drei Zahlen benötigen.
> > Das sind, wiederum im Mittel, 3 Möglichkeiten pro Zahl.
> Soweit, so gut. Wieso sind es drei Möglichkeiten, die
> wegfallen?
Beim Versuch, das zu erklären, habe ich festgestellt, daß es möglicherweise gar nicht stimmt. Ich werde nochmal drüber nachdenken und vielleicht morgen eine Erklärung oder Berichtigung haben...
genumi
Hi…
Soweit, so gut. Wieso sind es drei Möglichkeiten, die
wegfallen?
Beim Versuch, das zu erklären, habe ich festgestellt, daß es
möglicherweise gar nicht stimmt. Ich werde nochmal drüber
nachdenken und vielleicht morgen eine Erklärung oder
Berichtigung haben…
Hm. Das versprochene Datum ist schon lang vorbei, und ich kriege die Möglichkeiten noch immer nicht in den Griff - hab natürlich auch noch anderes zu tun…
Es ist relativ klar, daß die erster Karte allen außer zwei verbleibenden Karten je eine Möglichkeit wegnimmt. Bei der nächsten Karte sind es wieder ein paar weniger, dafür sind auch insgesamt weniger Karten im Spiel. Leider scheint sich das nicht ganz auszugleichen, so daß die Gewinnwahrscheinlichkeit wohl besser als 1/6 sein wird. Genauer kann ich es bisher nicht sagen. Sollte sich doch irgendwann die Erleuchung einstellen, melde ich mich nochmal.
genumi