Stammfunktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Warum sind scheinbar nicht beider Ergebnisse richtig.

Gesucht ist die Stammfunktion von
(x^2 - 2)^2

Als erstes bin ich den „sicheren Weg“ gegangen, habe das Binom ausmultipliziert und komme zu:
x^4- 4x^2+4
Davon die Stammfunktion:
1/5x^5-4/3x^3+4x
Das ist ziemlich sicher richtig.
Anderseits müsse es doch auch mit „Umgekehrter Kettenregel“ funktionieren- also:
1/3 (x^2-2)^3

Sete ich aber Integrationsgrenzen stimmen die Ergebnisse nicht überein , so dass ich beim 2. Beispiel nen Denkfehgler haben muss.
Wo liegt der?
Mit besten Dank im voraus
teddy

#2

Hallo teddy! :smile:

Gesucht ist die Stammfunktion von
(x^2 - 2)^2

Okay.

Als erstes bin ich den „sicheren Weg“ gegangen, habe das Binom
ausmultipliziert und komme zu:
x^4- 4x^2+4
Davon die Stammfunktion:
1/5x^5-4/3x^3+4x

Stimmt! Allerdings solltest Du noch eine Integrationskonstante spendieren…

Anderseits müsse es doch auch mit „Umgekehrter Kettenregel“
funktionieren- also:
1/3 (x^2-2)^3

Hier ist mir nicht recht klar, was Du versuchst. Wenn Du Deine vermutete Stammfunktion nach der Kettenregel ableitest, kommt ja nicht die Ausgangsfunktion heraus, weil die Kettenregel noch die innere Ableitung beinhaltet, also

\left[\frac{1}{3}\big(x^2-2\big)^3\right]’
= \frac{1}{3} \cdot 3\big(x^2-2\big)^2 \cdot 2x

Umgekehrte Kettenregel ist ja Integration durch Substitution. Meintest Du das? Wenn Du etwa u=x^2-2 substituierst, dann merkst Du schon, dass Du nicht bei (1/3)u^3 ankommst. Denn wegen du = 2x dx „passt’s nicht“.

Liebe Grüße,

The Nameless

#3

Hallo

"Umgekehrte Kettenregel ist ja Integration durch Substitution. Meintest Du das? "
Ja - das meinte ich…
Die Integration durch Substitution habe ich noch nicht so richtig verstanden…

Liebe Grüße

Teddy

#4

Hallo Teddy.

Ja - das meinte ich…
Die Integration durch Substitution habe ich noch nicht so
richtig verstanden…

Aha! Dann schreibe ich Dir ein Beispiel auf, bei dem sie gelingt. Anhand dessen kannst Du vielleicht genauer zurückfragen.

Ich verwende in der folgenden Rechnung die Substitution

u = x^2-2
\qquad \Rightarrow \qquad
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x
\qquad \Rightarrow \qquad
x , \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{2}

und rechne

\int\mathrm{d}x ; x\big(x^2-2\big)^2
\quad \overset{u = x^2-2}{=} \quad
\int\mathrm{d}u ; \frac{1}{2}u^2
= \frac{1}{6}u^3+c
\quad \overset{u = x^2-2}{=} \quad
\frac{1}{6}\big(x^2-2\big)^3+c

Du kannst das Ergebnis natürlich wieder nachprüfen, indem Du zuerst die Klammer binomisch ausmultiplizierst und anschließend integrierst.

Liebe Grüße,

The Nameless

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#5

Herzlichen Dank! Also nachvollziehen kann ich´s erstmal, ob ich es dann immer selber hinbekomme…
Schaun mer mal - bin aber recht optimistisch , da ich mir ja alles mehr oder weniger im Alleingang aneigne…:smile:)
Danke nochmal!

Liebe Grüße

teddy