Steckbriefaufgabe in Mathe. Hilfe! :S

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe angefangen, eine Aufgabe zu lösen - kriege es jedoch nicht hin, da mir eine Information fehlt und ich nicht weiß, wie ich sie rauskriegen soll.

Der Graph einer ganrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse an der Stelle 6. DIE TANGENTE IM WENDEPUNKT HAT DIE GLEICHUNG t(x)=2x.

Den ersten Teil habe ich ja verstanden. Ich fing an mit f(x)=ax³+cx und habe die Schneidung der x-Achse dann mit 0 gesetzt.

Den zweiten Teil verstehe ich jedoch nicht. Wie soll ich die Gleichung für den Wendepunkt aufstellen, wenn ich den x-Wert gar nicht habe?!?!?!?!?! Habe ja nur die Steigung, die 2 beträgt. Mehr nicht. Ich verstehe es nicht. :stuck_out_tongue:

GLG

#2

Hi, also der Wendepunk ist da, wo die zweite Ableitung null ist.
Wenn Du das machst wirst Du finden, dass das bei x=0 der Fall ist, egal wie a oder c aussieht. Dann nimmst du den Anstieg am Nullpunkt, der gleich der Tangente ist. Also ist c=2.
Mit der Angabe das f(6)=0 kannst Du eine quadratische Gleichung für a bekommen.

Ich hoffe das konnte Dir helfen.

Beste Grüße,
Arvid

#3

Nun, beachte eben alle Voraussetzungen:

Punktsymmetrie: x^2 und x^0 fällt weg.
Schnitt im Ursprung:
f(0) = 0

Schnittpunkt mit der x-Achse:
f(6) = 0

Für Wendepunkt x1 gilt:
f’’(x1) = 0
und f’(x1) = 2

Mit f(x) = ax^3 + bx:
f’(x) = 3ax^2 + b
f’’(x) = 6ax

Mit a 0 gilt für x1 = 0 (bei a=0 würde gelten b=0 - aus f(0)= 0 und f(6) = 0 und f’(x) 2 für alle x)
Somit b=2 mit f’(x1) = 2

Mit f(6) = 0 = a*6^3 + 6*2 folgt a=-1/18.

#4

Den x-Wert des Wendepunkts (die Wendestelle) kann man hier ausrechnen, ohne a und c zu kennen… versuch’s doch einfach mal mit der Standard-Methode dafür. :wink:

(oder man verwendet den Satz: „Der Graph jeder ganzrationalen Funktion 3. Grades ist symmetrisch zu seinem Wendepunkt.“ - ich weiss aber nicht, ob ihr den im Unterricht behandelt habt…)

#5

Da f’’(x)=t(x)=2x kannst du ja einfach 2mal einen unbestimmten Integral anwenden, um das Glied dritten Grades herauszufinden = (X^3)/3
damit weißt du, dass a= 1/3 ist.
Das setzt du in deine GLG ein und den Punkt NST(6;0) auch und rechnest C aus, das müsste dann -12 sein.

also hast du als f(x)=y= 1/3 X^3 - 12x

die Probe zur Punkt-Symmetrie f(-x)=-f(x) stimmt auch.
Die NST (6;0) durchläuft sie auch und die 2. Ableitung ist: f’’(x)=2x

Fertig

GLG

#6

f(x)=ax^3;f’(x)=3ax^2+b;f"=6ax=0x=0
f’(0)=2=>b=2=>f(x)=ax^3+2x=>f(6)=216a+12=0=>a=-1/18

Hallo,
be zu lösen kriege es jedoch
nicht hin, da mir eine Information fehlt und ich nicht weiß,
wie ich sie rauskriegen soll.

Der Graph einer ganrationalen Funktion 3. Grades ist
punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse an der
Stelle 6. DIE TANGENTE IM WENDEPUNKT HAT DIE GLEICHUNG
t(x)=2x.

Den ersten Teil habe ich ja verstanden. Ich fing an mit
f(x)=ax³+cx und habe die Schneidung der x-Achse dann mit 0
gesetzt.

Den zweiten Teil verstehe ich jedoch nicht. Wie soll ich die
Gleichung für den Wendepunkt aufstellen, wenn ich den x-Wert
gar nicht habe?!?!?!?!?! Habe ja nur die Steigung, die 2
beträgt. Mehr nicht. Ich verstehe es nicht. :stuck_out_tongue:

GLG

#7

Hallo,
3. Grades bedeutet 4 Unbekannte. ax³+bx²+cx+d also a, b, c und d.
Also brauchst du 4 Gleichungen.
Aus denen kannst du dann die 4 Unbekannten ausrechnen:

  1. „Schneidet die x-Achse in x=6“ liefert: f(6)=0 also 216a+36b+6c+d=0

  2. Punktsymmetriesch also f(-6)=0 also:
    -216a+36b-6c+d=0

  3. Außerdem muss gelten, da sie in ganz R definiert ist: sie muss durch den Ursprung gehen also:
    f(0)=0 d=0
    und 4. du hast richtig erkannt, dass die Steigung im Wendepunkt 2 ist. Jetzt brauchst du nur noch die x Koordinate des Wendepunkts:
    Für WP gilt: f’’(x)=0
    Also 2 mla ableiten und Null setzten:
    f’(x)= 3ax²+2bx+c
    f’’(x)=6ax+2b=0 Also x=-2b/6a (x-Koordinate vom Wendepunkt)
    Also f’(-2b/6a)=2
    Also die 4. Gleichung: 3a(-2b/6a)²+2b(-2b/6a)+c=2
    Vereinfachen.
    Aus den 4 Gleichungen a, b, c und d berechnen und fertig.
    Viel Spaß

#8

Hallo , der Wendepunkt ist der Ursprung (0/0)(2. Ableitung = 0, dann siehst Du es sofort.

  1. Ableitung = 2 , wenn Du x=0 setzt.
    Die zweite Gleichung mit 0 = 216a + 6b hattest Du ja schon.
    Gruß von Max
#9

Hallo,

der Wendepunkt ist in diesem Fall der Ursprung P(0/0). Von daher lässt sich hier die Gleichung aufstellen: f’(0) = 2. Daraus resultiert mit f’(x) = 3ax^2+c die Gleichung c = 2. Damit ist das c bereits bestimmt. Das a ergibt sich dann mittels der Nullstelle bei x = 6. Daraus resultiert die Gleichung 216a + 6 c = 0. Setzt man dort c = 2 ein, so hat man 216 a = -12 und a = -12/216 und gekürzt a = -1/18 .

Viele Grüße
funnyjonny

#10

Hallo,
wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist der Wendepunkt der Punkt (0/0).
Bitte beachte, dass der Graph die x-Achse 3 mal schneidet.(-6/0);(0/0);(6/0).
Zusammen mit der Information über die Steigung im Punkt (0/0) bekommst Du dann die Lösung.

#11

Hallole,

wenn ich das recht sehe, ist ein Nullpunkt mit ( 6, 0 ) gegeben. In allg. Gleichung 3. Grades einsetzen und 1 Koeffizienten ersetzen.

Vorher noch Punktsymmetrie ausnutzen: genau das angegebene Polynom kommt dabei heraus.

Für den Wendepunkt die 2. Ableitung ausrechnen. Für den Wendepunkt xw gilt doch: f’’( xw ) = 0

Also ausrechnen.

Die Steigung am Wendepunkt ergibt den Koeffizienten c. Also in 1. Ableitung einsetzen.

Das war’s!

MfG
G. Aust

#12

Hi,

aufgrund der Tatsache, dass sich Tangente und Funktion im Wendepunkt schneiden/berühren ergibt sich mathematisch t(x)=f(x) also 2x=ax^3+cx => x=sqrt[(2-c)/a]
Damit erhalte ich die Bedingung f’(sqrt[(2-c)/a])=2
Dies liefert mir für c den Wert 2. c eingesetzt in f(6)=0 liefert mir für a=-1/18.

f(x)=-1/18x^3+2x

Viele Grüße

#13

Hallo,
ich kam erst gestern aus dem Urlaub zurück. Vielleicht nützt dir meine Antwort trotzdem noch.

  1. f(x) = ax³+cx o.k.
  2. f’(x) = 3ax² + c
  3. f’’(x) = 6ax
  4. f’’’(x) = 6
    und nun: Notwendige Voraussetzung für einen Wendepunkt ist f’’(x) = 0, und das ist nur bei x = 0 der Fall. (Und wegen f’’’(0) = 6 liegt tats. ein WP vor.)
    Steigung 2 => f’(0) = 2 = c (!)
    Und nun nur noch f(6) = 0 berücksichtigen:
    0 = 6³a + 6c ; durch 6 dividieren und c = 2 einsetzen:
    0 = 36a + 2, somit
    a = -1/18 und f(x) = -1/18x³ + 2x.
    War doch gar nicht so schwer, oder?

Gruß Retep47

#14

Hallo Neptunos,

den Wendepunkt brauchen wir gar nicht, uns reicht schon die zusätzliche Gleichung. Aus deinen
Informationen ziehe ich folgende Gleichungen:

f(x) = ax^3 + cx = 0

(Nullstellen sind vorhanden)

f’(x) =3 \cdot ax^2 + c = 0
f’’(x) = 6 \cdot ax = 2 \cdot ax
f(6) = 0

Das reicht schon. Wir wissen aus der Punktsymmetrie auch f(-x) = -f(x), damit gilt f(-6) = -0, daraus können wir ziehen, dass die Funktion punktsymmetrisch um den Punkt (0/0) ist. Es geht aber auch ohne diese Information.

Wenn wir die Wendepunktfunktion erfüllen wollen, muss a=\frac{1}{3} sein. Das können wir in die Funktion f(6) = 0 einsetzen, sodass wir nur noch die unbekannte c haben:

f(6) = 0 = \frac{6^3}{3} + c \cdot 6
=> c = \frac{-6^3}{3 \cdot 6} = \frac{-6^2}{3} = \frac{-36}{3} = -12

Daraus folgt:

f(x) = \frac{x^3}{3} - 12x

Machen wir die Probe:

f’(x) = 0 = x^2 - 12 => x = \sqrt{12} = 3,4641…
f’’(x) = 2 \cdot x
f’’(\sqrt{12}) = 2 \cdot \sqrt{12} = 6,9282… \neq 0

Alle Bedingungen sind erfüllt.

Alle Angaben ohne Gewähr :smile:.
LG
Franziska

#15

Hallo,
jede g.r.F. dritten Grades, die symmetrisch ist zum Ursprung, hat genau dort ihren Wendepunkt, also hast du zu der Bedingung, die du schon gefunden hast, noch f’’(0)=2.
Viel Erfolg und Gruß
Jobie

#16

Habe die Frage erst jetzt entdeckt; ich war länger abwesend.-
Dein Ansatz f(x)=ax³+cx ist schon mal gut.
Als Wendep. kriegst du W(0|0). Erstens ist das bei 3.Grad und Punktsymmetrie klar; zweitens ergibt es sich auch über f’’ usw.
Für die zwei Unbekannten a und c hast du jetzt zwei Gleichnungen: f(6)=0 und f’(0)=2.
Darau erhalte ich b=2 und a=- 1/18.
Prüfe das mal!
Tschüß! W.