Hallo,
nachdem mir jetzt klar ist, was gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, habe ich jetzt wieder Pobleme mit einem Begrtiff, von dem ich dachte, daß er klar ist, und zwar spreche ich von der sog. LIPSCHITZ-STETIGKEIT!
Irgendwie sehe ich keinen Unterschied mehr zwischen glm. Stetigkeit und Lip. Stetigkeit!
Kann mir mal jemand den Unterschied klar machen? (am besten an einem Beispiel, wo f zwar Lip. stetig, aber nicht glm. stetig ist… oder umgekehrt)
Grüße
OLIVER
Hi Oliver,
Kann mir mal jemand den Unterschied klar machen? (am besten an
einem Beispiel, wo f zwar Lip. stetig, aber nicht glm. stetig
ist… oder umgekehrt)
Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist gleichmäßig stetig.
Lipschitz-stetige Abbildungen sind steigungsbeschränkte Abbildungen. ZB. ist f(x)=wurzel(x) in [0,a] gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig.
Gruß Frank 
Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist gleichmäßig stetig.
Lipschitz-stetige Abbildungen sind steigungsbeschränkte
Abbildungen. ZB. ist f(x)=wurzel(x) in [0,a] gleichmäßig
stetig, aber nicht Lipschitz-stetig.
so langsam verstehe ich. Gibts noch mehr Beispiele?
Oliver
Hallo Oliver,
so langsam verstehe ich. Gibts noch mehr Beispiele?
es gibt jede Menge an Beispielen. Du meinst hier sicherlich Funktionen die gleichmäßig-stetig aber nicht Lipschitz-stetig sind.
Es gilt, daß jede in einem geschlossenen Intervall stetige Funktion gleichmäßig stetig ist. Nicht Lipschitz-stetige (aber gleichm.-stetige) Funktionen sind zB.
f(x):= 0 für x=0 und x*sin(1/x) sonst.
im Intervall [0,1]
f(x):= 0 für x=0 und x*ln(x) sonst.
im Intervall [0,1]
f(x):=sqrt(r²-x²) im Intervall [-r,r]
Gruß Frank
Hallo Frank
f(x):= 0 für x=0 und x*sin(1/x) sonst.
im Intervall [0,1]f(x):= 0 für x=0 und x*ln(x) sonst.
im Intervall [0,1]f(x):=sqrt(r²-x²) im Intervall [-r,r]
… viele schöne Beispiele, vielen Dank! Deine Beiträge waren wirklich hilfreich!!
Gruß
Oliver
Hallo,
nachdem mir jetzt klar ist, was gleichmäßige Stetigkeit
bedeutet, habe ich jetzt wieder Pobleme mit einem Begrtiff,
von dem ich dachte, daß er klar ist, und zwar spreche ich von
der sog. LIPSCHITZ-STETIGKEIT!
Hi,
irgendwie dachte ich mir sowas, aber ich schreibe nicht am Wochenende.
Um bei den K"asten zu bleiben, Du kannst bei einer L-stetigen Funktion einen Kasten finden, bei dem…
also Du baust ein Diagonalkreuz in den Kasten ein, mit F"aden oder so, hast also 4 Dreiecke im Kasten, und wenn Du jetzt mit dem Mittelpunkt die Kurve abf"ahrst, darf der Graph nur in den Dreiecken links und rechts, aber nicht oben und unten liegen.
Man kann sich "uberlegen, dass wenn man einen solchen Kasten findet, diese dann in beliebiger Gr"osse existieren.
Bei diff’baren Funktionen beschr"ankt das den Anstieg, aber auch der Absolutbetrag als nicht diff’bare Funktion ist L-stetig. Mit "Uberlagerungen von schneller flach als klein werdenden S"agezahnkurven bekommt man auch nirgends diff’bare Fkt., die L-stetig sind.
Ciao Lutz