Stochastiik/Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe Schwierigkeiten bei einer Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, die wie folgt lautet:
In Mitteleuropa sind die Blutgruppen so verteilt: A - 43% ; B - 11% ; 0 - 41% ; AB - 5%
a) 3 Personen kommen zur Blutspende. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass
(1) alle 3 Personen die gleiche Blutgruppe haben,
(2) 3 Personen lauter verschiedene Blutgruppen haben?
b) Ein Patient mit Blutgruppe 0
bentigt dringend eine Blutspende. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter diesen 3 Personen, die zur Blutspende kommen, mindestens ein geegneter Spender also jemand, der Blutgruppe 0 besitzt.

Ich bedanke mich bereits jetzt für die Hilfe

#2

Hallo Sinchen16,

das klingt nach Hausaufgaben, die solltest du eigentlich alleine machen. Aber ich helfe dir trotzdem etwas:

a) (1) Das ist gegeben, wenn entweder…
3xA zutrifft oder
3xB zutrifft oder
3x0 zutrifft oder
3xAB zutrifft.

Wahrscheinlichkeit für 3xA ist nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Multiplikation zu ermitteln, da es sich hier um aufeinander folgende Wahrscheinlichkeiten handelt (Entland eines Astes bei der Baumdarstellung): 0,43*0,43*0,43=0,43^3 = 0,079507

Die Wahrscheinlichkeit für 3xA ist also 7,95%. Das gleiche musst du mit den anderen 3 Fällen machen und die Wahrscheinlichkeiten am Ende zusammen addieren, weil es sich dann um parallel ablaufende mögliche Wahrscheinlichkeiten handelt (Verschiedene Endknoten der Baumdarstellung).

Tja, und bei (2) geht es sehr ähnlich, nur wenn ein A-Patient rein kam, dann musst du die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass ein B-, AB- oder 0-Patient rein kommt. Wenn ein A- und B-Patient drin sind musst du errechnen, wie wahrscheinlich ein AB- oder 0-Patient rein kommt usw.

Aufgabe b) ist relativ leicht, die Abfolge der Wahrscheinlichkeiten ist nur in etwa „0, beliebig, beliebig“ oder „beliebig, 0, beliebig“ oder „beliebig, beliebig, 0“.
Diese Aufgabe kann man auch effizienter lösen, aber auf Anhieb ist das die für dich wohl beste Art und Weise.

Viel Erfolg beim Lösen,
Gruß Shisu

#3

Ich nenne die Ereignisse mal einfach wie folgt:
Gehört zu A: A
Gehört zu B: B
Gehört zu 0: C
Gehört zu AB: D
Und entsprechend die Gegenereignisse 
Gehört nicht zu A: A’
Gehört nicht zu B: B’
usw.

Dann zur Aufg. a):
(1) P(alle 3 Personen die gleiche Blutgruppe)=P({AAA,BBB,CCC,DDD})=0,43^3+0,11^3+0,41^3+0,05^3
(2) P(Alle Personen haben verschiedene Blutgruppen)=P({AA’A’,BB’B’,CC’C’,DD’D’})
=0,43*0,57^2+0,11*0,89^2+0,41*0,59^2+0,05*0,95^2
Zur Aufg. b):   P(keinmal C)= 0,59^3  
Gesucht ist   P(Mindestens einmal C)=1-P(keinmal C)=1-0,59^3  

#4

(a)
(1) Es gibt vier Möglichkeiten: alle drei haben die Blutgruppe A, oder alle drei die Blutgruppe B usw. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei die Blutgruppe A haben, ist 0,43*0,43*0,43 = 0,079507. Entsprechend bei den anderen Möglichkeiten. Insgesamt ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,149884.

(2) Hier gibt es 24 Möglichkeiten (4 für die erste Person, 3 für die zweite, 2 für die dritte). Das alles durchrechnen ist eher aufwendig… Kann man aber abkürzen, wenn man berücksichtigt, dass jeweils 3! = 6 dieser Möglichkeiten dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Also muss man hier nur vier Wahrscheinlichkeiten ausrechnen (z. B. für (A,B,AB), (A,B,0), (A,AB,0) und (B,AB,0)) und das Ergebnis am Schluss mal 6 nehmen.

(b) Das würde ich über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also „keiner der Spender hat Blutgruppe 0“ ausrechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person eine andere Blutgruppe als 0 hat, ist 1 - 0,41 = 0,59. Rest sollte klar sein…?

#5

a1: o,43^3+0,11^3+0,41^3+0,05^3
a2: dreistufiges Baumdiagramm auf großes Stück Papier zeichnen
b:1-(1-0,05)^3

#6

Hallo,

das sind Standardaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombination unabhängiger Ereignisse mit jeweils vorgegebener Eintrittswahrscheinlichkeit.
Überlege, welche „Elementarereignisse“ zu den jeweiligen Teilaufgaben gehören, und wie sich die gesuchte W. dazu berechnen lässt!
Siehe FAQ zum Thema „Hausaufgaben“!

#7

Hallo,

ne schöne Aufgabe:

zu 1a)
0,43^3+0,11^3+0,41^3+0,05^3=0,14988 - also rund 15%
zu 1 b)
möglich bei:
A/B/AB
A/B/0
A/AB/0
B/AB/0
Bei den Möglichkeiten je 6 versc hiedene Anordnungen:
Also:
0,43*0,41*0,11*6=0,1164
0,43*0,11*0,05*6 =0.0144
0,11*0,05*0,41*6=0.01353
0,05*0,41*0,43*6=0,05289

Summieren = 0,1972 - also 19,7%

b) Gegenereignis: Keiner der 3 hat Blugruppe 0

1-0,41= 0,59
0,59^3=0,205 gür das Gegenereignis.
Also 1- 0,205=0,795= 79,5%
Hoffe , es ist einigermaßen nachvollziehbar.

Schöne Feiertage wünscht

Teddy

#8

a(1) die gesuchte Wahrsch. lautet:
0,43 hoch 3 + 0,11 hoch 3 + 0,41 hoch 3 + 0,05 hoch 3

a(2) die gesuchte Wahrsch. lautet: (4*3*2)/(4 hoch 3)

b) berechne zunächst die Wahrschkt für das Gegenereignis: P(Gegenereignis) = P(kein geeigneter Spender vorhanden)= 0,59 hoch 3 , also ist die gesuchte Wahrschkt gleich 1 - (0,59 hoch 3)
Gruß von Max

#9

zu 1.:
0,43^3+0,11^3 …
denn es können ja alle drei irgendeine gemeinsame BG haben.

zu2.:
=P(A-B-0, A-B-AB, A-0-AB, B-0-AB)
dabei ist es egal, ob der 1., der 2. oder der 3. die entsprechende BG hat, also Vertauschungen berücksichtigen.
0,43*0,11*0,41*3! + 0,43*0,11*0,05*3! + 0,43*0,11*0,05*3! + …

das sollte es sein, wenn ich keinen Denkfehler habe.
das müsste übrigens das selbe sein, wie 1-P(lauter verschiedene oder 2 gleiche). Lässt sich auch einzeln zusammenaddieren.

zu b.:
1- P(o nicht dabei) = 1- (0,43^3+0,43^2*0,11+0,43*0,11*0,05 + … alle Kombinationen aber ohne 0,41)

oder alle mit BG0

#10

Hallo,
lies mal im Internet oder im Mathebuch nach, was Du zum Thema „Additionssatz und Multiplikationssatz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ findest, darum geht es in Deiner Aufgabe. Statt Personen mit Blutgruppen kannst Du Dir auch eine Urne mit hundert Kugeln in vier verschiedenen Farben vorstellen: 43 dieser Kugeln hätten dann die Farbe A usw.
a) 1) die drei Kugeln, die zufällig gezogen werden sollen die gleiche Farbe haben also z.B. A und A und A. Das Wörtchen „und“ sagt uns, dass wir die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren müssen, also 0,43 * 0,43 * 0,43 = 0,0795. Entsprechend berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für B und B und B und für die beiden weiteren Blutgruppen (Farben). Da
AAA oder BBB oder 000 oder AB AB AB vorkommen kann (das Wörtchen „oder“ sagt uns, wir sollen die Wahrscheinlichkeiten addieren), müssen wir viermal die dritte Potenz ausrechnen und anschließend addieren. Ich erhalte 0,15.
2)Dafür, dass alle drei Farben verschieden sind, gibt es genau die folgenden 4 Möglichkeiten:
AB0, AB(AB),A0(AB), B0(AB)
Wieder musst du erst die Wahrscheinlichkeiten („und“) multiplizieren, die Ergebnisse („oder“)anschließend addieren. Ich erhalte 0,033
b) Alle Fragestellungen mit „mindestens eins“ löst man am schnellsten über die Gegenwahrscheinlichkeit und berechnet die Wahrscheinlichkeit für „nicht keins“:
die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug nicht eine 0-Kugel zu ziehen ist 0,59. Das dreimal nacheinander ergibt 0,59^3, und genau dieses Ergebnis soll ja nicht eintreten, also 1 - 0,59^3 = 0,79.
Ciao und Gruß
Jobie

#11

Hallo,
sorry, ich war in Eile und bin es jetzt auch: die Antwort zu Frage b) stimmt nicht, da es noch mehr Fälle gibt , die nicht vorkommen dürfen.
Antwort b) also bitte streichen und warten bis morgen.
Danke!
Gruß
Jobie

#12

Hallo,

guten morgen und Frohe Ostern!
Ich bitte um Entschuldigung für die Verwirrung! Ich hatte in Eile meine – bereits abgeschickte – Antwort noch einmal überflogen und gedacht, ich hätte bei Frage b) einen Fehler gemacht, ich hatte da den Text der Aufgabe nicht mehr ganz genau im Kopf.
Also, die Antwort zu b) ist völlig richtig, in Kurzform noch einmal: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste SPender nicht die Blutgruppe 0 hat, ist 0,43 + 0,11 + 0,05 = 0,59, oder auch
W(für keine 0 beim ersten Spender) = 1 – 0,41 = 0,59
W(alle drei Spender haben keine 0) = 0,59*0,59*0,59
Da dieser Fall für unseren Patienten aber gerade unerwünscht ist, suchen wir
1 – w = 1 – 0,59³ und das ist ungefähr 0,79

Gruß
Jobie

#13

Hallo.

Aus meiner Sicht kann man da recht gerade aus vorgehen. Z.B. a) 1) berechne die Wahrscheinlichkeit von „Nur A“ + „Nur B“ + „Nur 0“ + „Nur AB“ der drei.

Überlege Dir: welche Szenarien gibt es (ist es manchmal möglicherweise einfacher, das Gegenteil zu berechnen und dann diese Wahrscheinlichkeit von 1 abzuziehen) und wieviele Permutationen - mit ein wenig Logik kommst Du meiner Meinung nach schnell ans Ziel.

Viel Erfolg.

#14

Wenn bei 4 Blutgruppen bei 3 Personen alle drei die gleiche haben sollen, dann hat die 1. Person 4 Freiheitsgrade, die 2. Person hingegen, nachdem für die 1. Person eine Blutgruppe feststeht, nur noch 1 Freiheitsgrad und die 3. Person dann erst recht. Demgegenüber stehen die gesamten Möglichkeiten (Freiheitsgrade), die auftreten könnten. Anders ausgedrückt:

m = 4 x 1 x 1 = 4 und n = 4 x 4 x 4 = 64

Die Wahrscheinlichkeit, das alle 3 Personen dieselbe Blutgruppe haben, ist demzufolge P(X1a) = m / n = 4 / 64 = 0,0625 (oder 6,25%)

Ähnlich muss an die zweite (b) Aufgabe herangegangen werden: Die 1. Person hat 4 Freiheitsgrade (also Möglichkeiten des Besitzes einer bestimmten Blutgruppe), dann ist einer davon zu vergeben, damit hat die 2. Person nur noch 3 Freiheitsgrade und die 3. nur noch 2; also:

M = 4 x 3 x 2 = 24 und n = 64 (s.o.)

Die wahrscheinlichkeit, dass alle drei unterschiedliche Blutgruppen haben, ist demzufolge dann P(X1b) = 24 / 64 = 0,375 (oder 37,5%)

Soll nun von den 3 Personen (nach 1b) wenigstens einer Blutgruppe NULL haben, dann muss die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Blutgruppe (0,41 oder 41%) hinzugezogen werden:

P(X2) = 0,41 x 0,375 = 0,15375 (oder 15, 375%).

Ich hoffe geholfen zu haben.

Manuel Schröter

In Mitteleuropa sind die Blutgruppen so verteilt: A - 43% ; B

  • 11% ; 0 - 41% ; AB - 5%
    a) 3 Personen kommen zur Blutspende. Wie groß ist die
    Wahrscheinlichkeit,dass
    (1) alle 3 Personen die gleiche Blutgruppe haben,
    (2) 3 Personen lauter verschiedene Blutgruppen haben?
    b) Ein Patient mit Blutgruppe 0
    benötigt dringend eine Blutspende. Mit welcher
    Wahrscheinlichkeit ist unter diesen 3 Personen, die zur :Blutspende kommen, mindestens ein geegneter Spender also :jemand, der Blutgruppe 0 besitzt.
#15

Hallo,
ich habe leider erst seit heute wieder Internet, ich hoffe es hilft dir noch weiter.
Man kann das bestimmt auch irgendwie anders lösen, aber ich würde (1) „aufdröseln“, also in Einzelereignisse für die du Wahrscheinlichkeiten hast aufteilen: erstmal in „alle 3 haben A oder alle 3 haben B oder alle 3 haben 0 oder alle 3 haben AB“. Das kann man dann aufdröseln in „der 1. hat A und dann der 2. hat A und dann der 3. hat A oder der 1. hat B und dann der 2. hat B und dann der 3. hat B oder: der erste hat 0 und dann der 2. hat 0…“ usw. Dann noch die Einzelwahrscheinlichkeiten einsetzen (die in der Aufgabe gegeben sind), für „und dann“ * rechnen und für „oder“ +, et voilà.

(2) hier könnte man alle passenden Möglichkeiten auflisten:
A B 0
0 A B
B 0 A
A B AB
AB A B
B AB A
usw usw usw.
Immer 3 Möglichkeiten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Das geht bestimmt auch einfacher… aber ich weiß gerade nicht wie und ich weiß auch nicht, ob du die in deiner Klasse schon hattest.

(3) würde ich übers Gegenereignis (ist nicht das gleiche wie`s Gegenteil!) rechnen: P(mindestens einer 0) = 1 - P(keiner 0)

Wenn du weiterhin Probleme bei solchen Aufgaben hast würde ich mir ausführliche Hilfe holen, das ist ein großes Thema und die Aufgaben können verwirrend sein.
Fabi123

#16

Hallole,

alles dreht sich um Verbundwahrscheinlichkeiten. Einfach schrittweise aufbauen. Exemplarisch für Teilfrage a:

die erste Person mit der Blutgruppe g ( = A, B, 0, AB ) ist
p( g ).
Also ist für die 2. Person die Wahrscheinlichkeit, die gleiche Blutgruppe zu haben zusammen:
p( g ) * p( g ).
Also dann für 3 Personen mit der gleichen Blutgruppe
p( g )^3.

Der Rest geht ähnlich.

MfG
G. Aust