Stochastik am Glücksrad

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen!
Ich hab mir heute folgende stochastische Frage gestellt:
Angenommen ich habe ein Glücksrad mit hundert Feldern, wobei auf einem davon ein roter Punkt ist.
Jetzt drehe ich das Glücksrad so oft, bis es auf den roten Punkt zeigt. Es ist kein Problem zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeit den Punkt beim ersten Versuch zu treffen 1/100 ist, beim zweiten Versuch 1-[(99/100)(99/100)] (Gegenwahrscheinlichkeit) usw… ist - alles kein Problem und interessiert mich erstmal auch nicht weiter.
Ich drehe also das Rad, bis ich auf dem roten Punkt lande und schreibe mir anschließend auf, wie viele Versuche ich gebraucht habe. Das Ganze wiederhole ich jetzt wieder und wieder und wieder. Aus allen meinen Werten bilde ich anschließend den Mittelwert. Der müsste mir dann ja angeben, nach wie vielen Versuchen ich im Schnitt mein Ziel erreicht habe. Welcher Mittelwert kommt dabei heraus und wie errechne ich diesen?

Ich habe zwar mittlerweile eine nicht-mathematische Lösung gefunden, würde euch das Ergebnis dennoch gerne vorenthalten, um eure Ideen unvoreingenommen zu hören.

#2

hi,

Ich hab mir heute folgende stochastische Frage gestellt:
Angenommen ich habe ein Glücksrad mit hundert Feldern, wobei
auf einem davon ein roter Punkt ist.
Jetzt drehe ich das Glücksrad so oft, bis es auf den roten
Punkt zeigt. Es ist kein Problem zu sagen, dass die
Wahrscheinlichkeit den Punkt beim ersten Versuch zu treffen
1/100 ist,

ja.

beim zweiten Versuch 1-[(99/100)(99/100)]

nein. sondern wieder 1/100.

aber du meinst offenbar, den punkt „erst beim 2. mal“ zu treffen. dieses ereignis hat die wsk 0,99 * 0,01. das meinst du vermutlich mit der formel oben.

(Gegenwahrscheinlichkeit) usw… ist - alles kein Problem und
interessiert mich erstmal auch nicht weiter.
Ich drehe also das Rad, bis ich auf dem roten Punkt lande und
schreibe mir anschließend auf, wie viele Versuche ich
gebraucht habe. Das Ganze wiederhole ich jetzt wieder und
wieder und wieder.

nennen wir die anzahl der versuche bis zum roten punkt die „länge der serie“. wenn der rote punkt beim ersten mal kommt, sei das länge 1. wenn er beim 2. mal kommt, länge 2 usw.

dann hat eine serie der länge 1 die wsk 0,01
eine serie der länge 2 die wsk 0,99 * 0,01
usw.
eine serie der länge n die wsk 0,99^(n-1) * 0,01

Aus allen meinen Werten bilde ich
anschließend den Mittelwert. Der müsste mir dann ja angeben,
nach wie vielen Versuchen ich im Schnitt mein Ziel erreicht
habe. Welcher Mittelwert kommt dabei heraus und wie errechne
ich diesen?

der erwartungswert der serienlängen ist
E(X) = 1 * 0,01 + 2 * 0,01 * 0,99 + 3 * 0,01 * 0,99^2 + … =
= 0,01 * (1 + 2 * 0,99 + 3 * 0,99^2 + … )

das kannst du in eine summe von geometrischen reihen aufteilen, jeweils mit q = 0,99 und anderem anfangsglied, die sich auch geometrisch entwickeln.

Ich habe zwar mittlerweile eine nicht-mathematische Lösung
gefunden, würde euch das Ergebnis dennoch gerne vorenthalten,
um eure Ideen unvoreingenommen zu hören.

insgesamt ist der erwartungswert der serienlängen
E(X) = 1 + 0,99 + 0,99^2 + 0,99^3 + … =
= 1 / (1 - 0,99) = 100

no na.
im schnitt wirst du 100 mal drehen müssen.

du wirst zwar oft früher zum ziel kommen, aber manchmal (selten) wirst du auch viel mehr drehen müssen als bloß 100 mal. (in ca. 63% aller fälle ist deine serienlänge kleiner gleich 100; in ca. 87% aller fälle ist deine serienlänge kleiner gleich 200 usw.)

und die allüre, mit der eigenen lösung hinterm berg zu halten, würd ich mir eher abschminken. wozu? traust du dich nicht?

hth
m.

#3

Hallo,

Angenommen ich habe ein Glücksrad mit hundert Feldern, wobei
auf einem davon ein roter Punkt ist.
Jetzt drehe ich das Glücksrad so oft, bis es auf den roten
Punkt zeigt. Es ist kein Problem zu sagen, dass die
Wahrscheinlichkeit den Punkt beim ersten Versuch zu treffen
1/100 ist,
Ich drehe also das Rad, bis ich auf dem roten Punkt lande und
schreibe mir anschließend auf, wie viele Versuche ich
gebraucht habe. Das Ganze wiederhole ich jetzt wieder und
wieder und wieder.

also unzählige mal - oder ?

Aus allen meinen Werten bilde ich
anschließend den Mittelwert. Der müsste mir dann ja angeben,
nach wie vielen Versuchen ich im Schnitt mein Ziel erreicht
habe. Welcher Mittelwert kommt dabei heraus und wie errechne
ich diesen?

Da gibt es eigentlich nichts zu rechnen.
Der „Mittelwert"ist gemäß"Vorgabe“ 100 und nach wie vielen Versuch-
reihen dieser genau getroffen wird kann niemand voraus sagen und
ebenso nicht bei wie vielen einzelnen Drehungen („Versuchen“!)
Dies kann beim der ersten Versuchsreihe sein oder nie - aber bei
sehr vielen Versuchsreihen natürlich sehr nahe an 100 Versuche
je Versuchsreihe.
Gruß VIKTOR
Die Vorgabe (Wahrscheinlichkeit) ergibt sich natürlich aus der
Anzahl der Felder auf dem Glücksrad.

#4

Viele Dank für deine Antwort!

aber du meinst offenbar, den punkt „erst beim 2. mal“ zu
treffen. dieses ereignis hat die wsk 0,99 * 0,01. das meinst
du vermutlich mit der formel oben.

Hast mich ertappt, das war mein Fehler.

Zur Lösung:
Der Begriff des Erwartungswertes war mir fremd, aber der scheint ja genau das zu sein, was ich gesucht habe. Danke nochmal :wink:

und die allüre, mit der eigenen lösung hinterm berg zu halten,
würd ich mir eher abschminken. wozu? traust du dich nicht?

Ich kann meinen Ansatz auch gerne offenbaren, es war nur halt die „Brute-Force“-Methode und deshalb eher unsauber:
Ich hab mir ein Programm geschrieben, dass den Fall beliebig oft durchspielt und den Mittelwert berechnet. Nach ca. 1 Mrd. virtuellen Drehungen komme ich damit auf 100,4. Der Trend geht aber auf die 100.

#5

Hallo

Der Begriff des Erwartungswertes war mir fremd, aber der
scheint ja genau das zu sein, was ich gesucht habe.

Zumindest an diesem Glücksrad kann die bereits angedeutete geometrische Wahrscheinlichkeit angewendet werden (solange drehen, bis rot erscheint):
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung

mfg M.L.

#6

Hallo Fragewurm,

Ich kann meinen Ansatz auch gerne offenbaren, es war nur halt
die „Brute-Force“-Methode und deshalb eher unsauber:
Ich hab mir ein Programm geschrieben, dass den Fall beliebig
oft durchspielt und den Mittelwert berechnet. Nach ca. 1 Mrd.
virtuellen Drehungen komme ich damit auf 100,4. Der Trend geht
aber auf die 100.

Da stellt sich noch die Frage, wie gut der verwendete Pseudo-Zufallsgenerator ist.

Pseudo-Zufallsgeneratoren erzeugen immer die selbe Reihe welche sich dann irgendwann wiederholt.
Für Testzwecke initialisiert man den Generator mit einem festen Wert, wodurch er bei jedem Programmablauf die selbe Zahlenfolge erzeugt.
Für die Produktion nimmt man dann als Startwert die Zeit, wodurch die Reihe jedesmal an einem anderen Punkt gestartet wird.

MfG Peter(TOO)

#7

Hallo Peter
und auch

Hallo Fragewurm,

Ich kann meinen Ansatz auch gerne offenbaren, es war nur halt
die „Brute-Force“-Methode und deshalb eher unsauber:
Ich hab mir ein Programm geschrieben, dass den Fall beliebig
oft durchspielt und den Mittelwert berechnet. Nach ca. 1 Mrd.
virtuellen Drehungen komme ich damit auf 100,4. Der Trend geht
aber auf die 100.

Da stellt sich noch die Frage, wie gut der verwendete
Pseudo-Zufallsgenerator ist.

Das läßt sich sehr leicht (für den der es kann)feststellen mit
einer Auflistung von JA/NEIN-(1/0) Folgen wie sie auch beim Roulette
generiert werden.Man braucht diese dann nur mit der bekannten
theoretischen Vorgabe vergleichen.

Pseudo-Zufallsgeneratoren erzeugen immer die selbe Reihe

Das ist wohl richtig, aber unerheblich für solche Tests wie dies
der Fragesteller machte.
Ich selbst setze beim Programmieren mit Zufallszahlen meist die
(unbekannte) Systemzeit des Computers oder den Microsekundenzähler
als "Random-Wert°.
Hier, bei der Angabe des Fragestellers von einem Fehler von 0,4%
bei 1 Milliarde Drehungen, könnte man vermuten, daß der Zufalls-
generator schlecht ist. Ich habe bei dieser großen Zahl nach
mehreren Test mit verschiedenen Zahlen nur Abweichungen von±0.003%
Mehrere Test müssen Abweichungen nach beiden Richtungen aufweisen.
Gehen diese nur in eine Richtung stimmt was nicht.
Dies liegt aber wohl meist - was viele Hobby-Programmierer nicht
wissen - an der falschen Wahl der „Datentypen“ der Zahlen für das
Programm. (ich will hier nicht zu weit ausholen)

Obwohl Deine und meine Antwort nicht die eigentliche Frage berühren
bin ich hierzu eingestiegen weil es den Fragesteller - und auch
andere - interessieren könnte.
Gruß VIKTOR

#8

Hi,

ein Zufallszahlengenerator wie der MRG32k3a erzeugt 2^192 Zufallszahlen bis sich die Zahlen wiederholen. Das reicht doch bei 1Mrd Stichproben.

MFG

#9

Für Interessierte: Als Zufallsgenerator hab ich die Math.random()-Funktion von JavaScript benutzt. Ich konnte keine Informationen darüber finden, wie nahe der Pseude-Zufall dieser Funktion „echtem“ Zufall kommt. Die Abweichungen hab ich noch nicht ausreichend untersucht und das hab ich auch nicht vor, um darüber zu argumentieren.
Die Millisekunden-Methode ist bei diesem Beispiel wohl nicht optimal, da das virtuelle Glücksrad in gewissen Intervallen gedreht wird.