Gegeben sind 24 Urnen mit jeweils 99 weißen und einer schwarzen Kugel.
Bei einem Ereignis wird aus jeder Urne eine Kugel mit zurücklegen gezogen.
Wievieler Ereignisse bedarf es im Durchschnitt, bis aus jeder Urne mindestens ein mal eine schwarze Kugel gezogen wurde?
Hallo,
unendlich viele.
Bei Ziehungen mit Zurücklegen ist es möglich, aus jeder Urne immer eine weiße und nie eine schwarze Kugel zu ziehen, auch wenn die Wahrscheinlichkeit dafür mit steigender Anzahl der Ziehungen asymptotisch gegen Null geht.
Bei einer Urne bräuchte man 459 Ziehungen, damit die Wk, niemals eine schwarze Kugel zu ziehen, auf unter 0,01 fällt. Auf Null fällt sie bei endlich vielen Ziehungen jedoch nie.
Beste Grüße
Oliver
Hallo Fragewurm,
Da fehlt noch was!
Befindet sich die schwarze Kugel ganz unten und wird die gezogene Weisse nur zurückgelegt, kommt die schwarze NIE dran.
Vor dem Ziehen muss also immer gut durchgerührt (gemischt) werden.
Darüber schreibst du aber nichts!
MfG Peter(TOO)
Und wie kommen Sie eigentlich auf 459 bei einer Urne?
Bei einer Chance von 1% würde ich im Durchschnitt 100 Versuche erwarten.
Aus der Praxis, von der diese Aufgabe stammt, habe ich auch in etwa diese Erfahrung gemacht.
Hinweis, falls es missverständlich im Anfangspost gewesen sein sollte:
Jede Urne, bei der ein mal eine schwarze Kugel gezogen wurde, ist aus dem Spiel.
Ich denke, in der Stochastik ist eine Urne mit Kugeln eine Verkörperung für einen Zufallsgenerator.
Bei Laplace Münzwürfen schreibt man ja auch nicht extra auf, dass deren Ergebnisse sich zufällig gestaletn.
Hallo,
Und wie kommen Sie eigentlich auf 459 bei einer Urne?
Bei einer Chance von 1% würde ich im Durchschnitt 100 Versuche
erwarten.
Sie haben in Ihrem Ursprungsposting gefragt:
Wievieler Ereignisse bedarf es im Durchschnitt, bis aus jeder Urne mindestens :ein mal eine schwarze Kugel gezogen wurde?
Was Sie jetzt berechnet haben
Bei einer Chance von 1% würde ich im Durchschnitt 100 Versuche
erwarten.
geht auf den Erwartungswert für die Ziehung schwarzer Kugeln zurück:
E(X) = n * p
Sei E(X) = 1 und p = 0,01
1 = n * 0,01 | : 0,01
100 = n.
Der Erwartungswert ist so etwas wie der theoretische Mittelwert („Durchschnitt“). Wenn der Erwartungswert gleich Eins ist, heißt es nicht, daß mindestens eine schwarze Kugel gezogen wird, sondern nur im „Durchschnitt“ eine schwarze Kugel: Es können mehr oder weniger (nämlich Null schwarze Kugeln) sein. Mindestens eine schwarze Kugel bedeutet aber: eine oder mehr schwarze Kugeln. Das ist also nicht das Gleiche wie der Erwartungswert.
Und wie kommen Sie eigentlich auf 459 bei einer Urne?
p („mindestens eine schwarze Kugel“) = 1 - p („nie eine schwarze Kugel“).
p („nie eine schwarze Kugel“) kann man mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen. Daraus kann man weiter berechnen, wie viele Ziehungen man vornehmen muß, damit p („nie eine schwarze Kugel“) einen bestimmten Wert (z.B. 0,01) annimmt. Dadurch hat man dann auch den Wert für p („mindestens eine schwarze Kugel“) festgelegt.
Hinweis, falls es missverständlich im Anfangspost gewesen sein
sollte:
Ja, was Sie eigentlich wissen wollen, ist unklar - sowohl im Ursprungsposting als auch jetzt. Wenn Sie - wie im Ursprungsposting - wissen wollen, wie viele Ziehungen man braucht, um aus 24 Urnen jeweils mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen, dann ist die Antwort: unendlich viele Ziehungen bei Ziehung mit Zurücklegen.
Beste Grüße
Oliver
Noch als Ergänzung die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für n = 100.
X sei Anzahl gezogener schwarzer Kugeln
p (X=0) = 0,366032341
p (X=1) = 0,369729638
p (X=2) = 0,184864819
p (X=3) = 0,060999166
p (X=4) = 0,014941715
p (X=5) = 0,002897787
p (X=6) = 0,000463451
p (X=7) = 6,28635E-05
…
p (X=100) = 1E-200
Sie sehen: Selbst bei 100 Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, keine schwarze Kugel zu ziehen, keineswegs Null, sondern beträgt 0,367 ( = 36,7%, d.h. bei immer wieder durchgeführten Ziehungen des Umfangs n = 100 wird in 36,7% der Fälle keine einzige schwarze Kugel gezogen). Diese Wk ist damit fast genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen (0,370). Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt bei n = 100 dementsprechend 1 - 0,367 = 0,633, also keineswegs Eins.
Beste Grüße
Oliver
Meine Frage war:
’ im Durchschnitt ’ und nicht ‚garantiert‘
@Aiwendil: Kann man aus ihren Berechnungen eine Folge erstellen?
D.h: Nach hundert Ziehungen blieben dann im Durchschnitt noch 36,7% der Urnen übrig, also 8,8
Nach 200 entsprechend 3,2 und nach 400 noch 0,43.
Nach vierhunderert Ziehungen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sich in irgendeiner Urne noch eine schwarze Kugel befindet, 0,42 also kleiner als 50%.
Ich denke, man müßte dann nach etwas weniger als 400 Ziehungen alle schwarzen Kugeln extrahiert haben, im Durchschnitt.
Weiß jetzt noch jemand, nach wievielen Ziehungen genau?
Hallo,
ich denke, Sie sollten sich einmal intensiver mit Stochastik und Statistik beschäftigen, so daß Ihnen klarer wird, was Sie eigentlich wissen wollen und wie man bestimmte Kennwerte und Ergebnisse interpretiert.
Inzwischen weiß ich gar nicht mehr, worum es Ihnen genau geht. Ich belasse es jetzt dabei.
Beste Grüße
Oliver