Stochastik: n+k-1 anschaulich erklären

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

wie könnte man die Formel (n+k-1)! / k! / (n-1)! für „Ziehen mit Zurücklegen“ anschaulich erklären?
Ich brauche es demnächst für einen Nachhilfeschüler.

Die Formel n! / k! / (n-k)! für „Ziehen mit Zurücklegen“ lässt sich gut erklären,
z. B. mit:
n! ist die Menge der Möglichkeiten, wie alle Elemate einer Menge angeordnet werden können;
weil aber die Anordnung der „gezogenen“ Elemente egal ist: / k!
und weil die Anordnung der „nicht gezogenen“ Elemente auch egal ist: / (n-k)!

Gruß
JoKu

#2

Hi,

kannst Du die Situation etwas genauer beschreiben?

Die Situation, die mir einfällt zu diesem Binomialkoeffizienten ist, dass eine Gruppe von n Gegenständen in k Gruppen eingeteilt wird, wobei eine Gruppengröße Null zulässig ist.

Dann kann man sich die Entstehung der Formel so vorstellen, dass man n+k-1 Löcher hat, in welche k-1 Pflöcke gesetzt werden. Die k Segmente vor, nach und zwischen den Pflöcken ergeben dann die Größen der Gruppen. Die Summe über alle Gruppen ist natürlich

n+k-1-(k-1)=n

Die Anzahl der Möglichkeiten ist k-1 aus n+k-1, genau der gegebene Binomialkoeffizient.

Gruß, Lutz

#3

Hi,

kannst Du die Situation etwas genauer beschreiben?

Ein (sehr kleines) Modell wäre ein Flaschenkorb mit 4 Plätzen und im Keller Weißwein- und Rotweinvorräte.
Wieviele Möglichkeiten zur Befüllung des Korbs gibt es?
n=4; k=2

Alternative:
Sixpack, das mit 3 Sorten Bier befüllt werden kann
n=6; k=3

Wie in aller Welt kommt es zu dem n+k-1 im Zähler bzw. zu dem n-1 im Nenner?
Es sind ja n Löcher und nicht n-1

Gruß JK

#4

Hi,

Du hast dann genau das Gruppierungsproblem. Du hast k Sorten von Gegenständen und n Positionen damit zu füllen. Ob das nun mit Zurücklegen passiert oder einfach durch die Annahme, dass von jeder Sorte beliebig viele (also wenigstens n) zur Verfügung stehen, ist dabei egal.

Das mit den Löchern und Pflöcken ist eine Zwischenüberlegung. Die Löcher sind, was ich vergaß zu erwähnen, alle auf einer Linie angeordnet.

Im Falle des Biers würdest Du eine Reihe mit 8 Löchern und 2 Pflöcken bilden. Die Pflöcke werden irgendwo in die Reihe gesetzt. Bis zum ersten Pflock werden die freien Löcher mit Bier 1 gefüllt, vom ersten zum zweiten Pflock mit Bier 2 und danach der Rest mit Bier 3. Somit hast Du eine Ansammlung von 6 Bierflaschen aus den drei Sorten. Und jede Ansammlung entspricht einer Pflock-Konfiguration. Und es gibt (2 aus 8) Konfigurationen für die zwei Pflöcke.

Gruß, Lutz

#5

H,

das ist so m. E. nicht wirklich anschaulich.

Wie soll ein Nachhilfeschüler von Bier auf Pflöcke kommen?

Und woraus bestimmt sich die Anzahl der Pföcke bei einer frisch gestellten Aufgabe?
2, 3 oder veilleicht doch fünf?

Schöne Grüße
JK

#6

Das Bild ist doch egal. Es geht einfach darum, entsprechend viele Positionen auf einer Linie zu haben und eine gewisse Anzahl von Markern. Du kannst auch Coladosen zwischen die Bierflaschen stellen.

k ist die Anzahl der Sorten in der Aufgabe, n die Anzahl der schlussendlich zu besetzenden Positionen und n+(k-1) die Anzahl der Positionen auf der Linie.

Gruß, Lutz