Stochastik: wiederholtes ziehen mit Zurücklegen

[Der_Frank_176821]

Hallo,

ich stell mich mal wieder etwas an mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung…

In einem Beutel sind b Bälle von denen r rot sind, ansonsten sind die gleich. Es gilt logischweise 0 <= r <= b. Aus diesem Beutel ziehe ich ich blind a Bälle und schau die an. Wiederrum logischerweise 0 < a <= b. Danach leg ich sie wieder zurück und wiederhole die Ziehung z mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von (b, r, a, z), dass ich irgendwann mal mindestens einen roten Ball gezogen habe? (Nein, ist keine Hausaufgabe, dafür bin ich zu alt und offensichtlich auch zu doof. ;-)).

Vielen Dank im Voraus.

Mf
Gruß vom Frank.

[aiwendil]

Nur ein paar Tipps:

In einem Beutel sind b Bälle von denen r rot sind, ansonsten sind die gleich. Es gilt logischweise 0 <= r <= b. Aus diesem Beutel ziehe ich ich blind a Bälle und schau die an. Wiederrum logischerweise 0 < a <= b.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einmaliges Ziehen ist hypergeometrisch.

Danach leg ich sie wieder zurück und wiederhole die Ziehung z mal.

Die Ziehungen sind unabhängig voneinander. Also …

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von (b, r, a, z), dass ich irgendwann mal mindestens einen roten Ball gezogen habe?

Auf die Schnelle:

Es kommt darauf an, wie viele Kugeln rot sind, wie viele Kugeln Du ziehst und wie häufig Du ziehst. Wenn beispielsweise alle Kugeln rot wären, reicht eine Ziehung und die Wk, daß Du mindestens eine rote Kugel ziehst, ist gleich 1. Wenn r < b ist, aber alle Kugeln gezogen werden, reicht auch eine Ziehung und die Wk für mindestens eine rote Kugel ist gleich 1. Wenn r < b ist und nicht alle Kugeln gezogen werden, ist die Wk, daß mindestens eine rote Kugel gezogen wird, immer kleiner als 1, egal, wie häufig man zieht. Man bestimmt diese Wk über die Gegenwahrscheinlichkeit, daß keine rote Kugel gezogen wird: 1-(Wk_{gemäß hypergeometrischer Verteilung, daß bei einer Ziehung keine rote Kugel gezogen wird})^z.

Beste Grüße

Oliver

[Martin]

Hallo,

die Wahrscheinlichkeit dafür, im Lauf der Veranstaltung (bestehend aus z Ziehungen) wenigstens einmal einen roten Ball in der Hand gehalten zu haben, beträgt 1 – p^z,
wobei p die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet, bei einer Ziehung keinen einzigen roten Ball zu erwischen. Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch

p = binomial(b – r, a) / binomial(b, a)

Wie von meinen Vorredner schon richtig gesagt läuft das in der Kombinatorik unter dem schönen Namen „hypergeometrische Verteilung“.

Gruß
Martin