Hallo zusammen …
Folgende Aufgabe:
Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben Sie beim Lotte „6 aus 49“ (ohne Zusatzzahl) einen Tipp abzugeben?
Als Lösung ist folgendes angegeben:
(49)
(9)
Stellt euch aber bitte vor, dass es eine große Klammer ist ( jedoch nicht umsetzbar auf der Tastatur 
). Der korrekte Zahlenwert wäre übrigens 13 983 816
Meine Frage: Was bedeutet dieses „49 über 9“ ? Und Wie komme ich auf dieses Ergebnis?
Vielen Dank vorab …
Anguus
Moin,
Meine Frage: Was bedeutet dieses „49 über 9“ ? Und Wie komme
ich auf dieses Ergebnis?
guckst Du FAQ:1537
Gandalf
Hallo Anguus,
Meine Frage: Was bedeutet dieses „49 über 9“ ? Und Wie komme
ich auf dieses Ergebnis?
Dieses „49 über 6“ ist ein Binomialkoeffizient. Der Name Binomialkoeffizient kommt daher, dass diese als Faktoren in den Summanden des Binoms (a+b)^n vorkommen, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
In diesem Fall ist:
(49)
(6)
ist eine Kurzschreibweise für den Bruch
1*2*3*4*5*6
Wie kommt man darauf?
Als erstes zählen wir die Anzahl der Möglichkeiten, wie man 6 Zahlen (ohne Zurücklegen) aus 49 auswählen kann. Für die erste Zahl haben wir 49 Möglichkeiten. Beim zweiten Zug sind nur noch 48 Zahlen übrig, d.h. wir ziehen nur noch eine Zahl aus 48 Zahlen. Wenn wir die gezogen haben, haben wir zusammen mit der ersten Zahl eines von 49*48 möglichen Paaren gezogen. Hier wird multipliziert, da es für jede beliebige zuerst gezogene Zahl 48 mögliche zweite Zahlen gibt.
Wenn man das weiterrechnet, bis man 6 Zahlen gezogen hat, wobei man bei jedem Zug berücksichtigt, dass nur noch eine Zahl weniger übrig ist, kommt man darauf, dass man A=49*48*47*46*45*44 Möglichkeiten hat.
Nun muss man aber noch berücksichtigen, dass die Reihenfolge egal ist! Beim Lotto ist es ja egal in welcher Reihenfolge man die Kreuze setzt. Dies haben wir beim Ziehen aber noch nicht berücksichtigt. D.h. wenn wir einmal die Zahlen (1,2,3,4,5,6) und ein anderes Mal (2,1,3,4,5,6) gezogen haben (in dieser Reihenfolge), dann haben wir das fälschlicherweise mitgezählt.
Deshalb müssen wir unser Ergebnis A noch durch die Anzahl der Permutationen teilen. D.h. die Anzahl der Möglichkeiten die 6 gezogenen Zahlen beliebig zu vertauschen. Stell dir vor du hast deine 6 Kugel und die möchtest du auf 6 Felder, die in einer Reihe sind, verteilen. Wenn du die erste Kugel platzierst hast du dafür 6 Möglichkeiten. Wenn du die zweite platzierst, sind nur noch 5 Felder frei, also 5 Möglichkeiten. Damit hast du 6*5 Möglichkeiten die ersten beiden Kugeln zu verteilen. Für die dritte Kugel sind noch 4 Felder frei. Es gibt also 6*5*4 Möglichkeiten, die ersten drei Kugeln zu verteilen, usw. Schließlich findest du, dass du 6*5*4*3*2*1 Möglichkeiten hast, die 6 Kugeln auf die 6 Felder zu verteilen. Das ist genau die Anzahl der Permutationen für eine gegebene Kombination aus 6 verschiedenen Zahlen.
Nun haben wir oben jede mögliche 6er-Kombi, die wir aus den 49 Zahlen gezogen haben, mehrfach gezählt. Und zwar haben wir jede 6er-Kombi 6*5*4*3*2*1=720 Mal gezählt, obwohl ein Mal reicht. Deshalb teilen wir A noch durch 720 und haben das Endergebnis, den Binomialkoeffizienten.
Hoffe es war verständlich.
Grüße
Christian
Hossa 
Stell dir vor, du hast eine Menge mit n Elementen (z.B. die 49 Lotto-Kugeln). Aus dieser Menge sollen k Elemente ohne Zurücklegen gezogen werden (z.B. 6 Lotto-Kugeln). Dann beschreibt „n über k“ die Anzahl der Möglichkeiten, die du dafür hast. Mathematisch schreibt man das so:
\binom{n}{k}
Um eine Formel zur Berechnung von „n über k“ zu gewinnen, überlegt man sich, was passiert, wenn man nicht nur n Kugeln zur Auswahl hat, sondern eine Kugel mehr. Oder anders ausgedrückt, wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Menge von (n+1) Kugeln genau k ohne Zurücklegen auszuwählen?
\binom{n+1}{k}=\mbox{?}
Das klingt zunächst komplziert, jedoch braucht man nur 2 Fälle zu unterscheinden…
\binom{n}{k}
\binom{n}{k-1}
Insgesamt beträgt also die Anzahl der Möglichkeiten, aus (n+1) Kugeln genau k zu ziehen:
\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}
Das kann man graphisch sehr schön im sog. Pascal’schen Dreieck darstellen:
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
n=6: 1 6 15 20 15 6 1
n=7: 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1
An die äußeren Ränder kommt immer eine 1. Die inneren Werte ergeben sich nach der gerade gefundenen Regel:
\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}
Der Wert an Position k in der Zeile (n+1) [„n+1 über k“] ist gleich der Summe aus dem Wert an Position k in Zeile n [„n über k“] und dem Wert an Position k-1 in der Zeile n [„n über k-1“]. Oder einfacher: Er werden einfach die beiden Zahlen dadrüber addiert. Wichtig ist hierbei, dass man sowohl für n als auch für k bei 0 anfängt zu zählen.
Daran kannst du die Werte für „n über k“ direkt ablesen. Zum Beispiel ist in der Zeile n=4 an der Position k=2 der folgende Wert abzulesen:
\binom{4}{2}=6
Analog ist z.B.:
\binom{7}{3}=35\quad\mbox{oder}\quad\binom{8}{6}=28
Diese Werte „n über k“ heißen übrigens Binomialkoeffizienten.
Beachte bitte die beiden Randbedingungen mit den Einsen. Am rechten Rand steht immer eine 1, denn aus n Kugeln habe ich genau 1 Möglichkeit n Kugeln auszuwählen. Am linken Rand steht auch immer eine 1. Das ist zunächst verwirrend, weil es bedeutet, dass man genau 1 Möglichkeit hat, aus n Kugeln null auszuwählen. Gemeint ist hier, dass die gewählte Menge dann die leere Menge ist, und die leere Menge ist in der Mathematik per Definition auch eine Menge.
Für große Zahlen, z.B „49 über 6“ möchte man sich sich das Pascal’sche Dreieck nicht wirklich aufmalen. Das braucht man auch nicht, denn es gibt eine geschlossene Formel zur direkten Berechnung, die alle 3 folgenden Randbedingungen erfüllt:
\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\quad;\quad\binom{n}{0}=1\quad;\quad\binom{n}{n}=1
Diese Formel lautet:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}
wobei n!=1*2*3*4*5*…*n das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen darstellt. 0! ist dabei per Definition gleich 1.
[Zur Übung kannst du ja mal nachprüfen, ob die Formel die 3 Randbedingungen tatsächlich erfüllt?!]
Viele Grüße
Hase
Nochmal das gleiche Problem:
http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/1269/1537
43! * 6!
Soweit so gut. Ich komme auf 13.983.816 Möglichkeiten.
Nun steht aber in meinem Mathebuch:
(n-k)! bei "ziehen ohne zurücklegen.
Beim Lottospiel „6 aus 49“ handelt es sich meiner Meinung nach um ein ziehen ohne zurücklegen. Ich tippe in den Taschenrechner:
(49!) / ((49-6)!) Und komme auf: 1,006834752 *10^10 …
Warum kommt denn da etwas anderes heraus?
43! * 6!
finde ich hingegen in meinem Mathebuch gar nicht ?! Worin besteht das Problem?
Grüße vorab
Anguus