Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids durch einen Siphon

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

ich bin heute über folgende Aufgabe in der Fluiddynamik gestolpert, mit der(en Lösung) ich ein Verständnisproblem habe.

[leider kann man kaum eine Skizze hinzufügen, ich hoffe, es geht auch so.]

Man Stelle sich zwei identische Eimer der höhe he vor, in welchen unterschiedliche Volumina einer idealen Flüssigkeit seien. Ein Schlauch hänge mit je einem Ende in jeweils einem der Eimer. Er sei mit Flüssigkeit gefüllt, damit er als Saugheber (Siphon) arbeiten kann. Im Schlauch fließe die Flüssigkeit laminar (Bernoulli-Gleichung ist erlaubt). Der Abstand des höheren Flüssigkeitsspiegels zum Eimerrand heiße h, die Höhendifferenz zwischen dem niedrigeren und dem höheren Flüssigkeitsspiegel heiße d.
Zeigen Sie mithilfe der Bernoulli-Gleichung, dass sich die Flüssigkeit im Schlauch mit der Geschwindigkeit v = sqrt(2gd) bewegt.

Soweit die Aufgabe, nun zur Lösung:
Zunächst die Bernoulli-Gleichung aufstellen:

Pat + (1/2)ϱvh2 + ϱg(he - h) = Pat + (1/2)ϱvt2 + ϱg(he - h - d)

Dabei sei der Index h der Schlaucheingang (im Eimer mit mehr Flüssigkeit) und t der Schlauchausgang (für Flüssigkeitsspiegel tief).

Man kann das ganze jetzt umstellen zu: vt2 - vh2 = 2gd   (1’)

Jetzt wendet die Lösung die Kontinuitätsgleichung auf einen Punkt der Flüssigkeitsoberfläche im Behälter mit viel Flüssigkeit (er heiße C) und auf den Eingangspunkt des Schlauches an:

vhAh = vcAc

Da die Flüssigkeitsoberfläche viel größer ist als der Querschnitt des Schlauchs (Ah>>Ac), gilt: vh = vc = 0.

Nach einsetzten von vh in 1’ und mit vt = v kommt dann das gesuchte v = sqrt{2gd} raus.

Aber, wenn ich die Kontinuitätsgleichung auf Schlauchein- und -ausgang anwende:

Ahvh = Atvt   dann kommt hier eindeutig raus, dass der Schlauch am Ausgangspunkt die Querschnittsfläche 0 hat. Oder umgekehrt, wenn ich sage der Schlauch hat immer den Radius r, dann kommt raus vh = vt. Unter diesen Umständen kann niemals ein Schlauch mit konstanter Querschnittsfläche als Saugheber dienen - ich dachte immer das ginge! Was meint ihr? Wo ist mein Denkfehler?

Gruß
Matthias

PS: Die Wurzeln und Brüche tun mir Leid, aber ich finde nirgends mehr die Schaltfläche um LaTeX anzuschalten und ohne Anschalten scheints nicht zu gehen (laut Vorschau)

#2

Hallo zusammen,

Hallo allein,

die Frage lautet:

Zeigen Sie mithilfe der Bernoulli-Gleichung, dass sich die
Flüssigkeit im Schlauch mit der Geschwindigkeit v = sqrt(2gd)
bewegt.

Was du da alles unter: „Jetzt wendet die Lösung die Kontinuitätsgleichung … . an “ beschreibst, verstehe ich ohne Kopie der gesamten Original-Aufgabe + Original-Lösung nicht.
Der Begriff „Kontinuitätsgleichung“ taucht in der ursprünglichen Fragestellung nicht auf.

Mein Vorschlag: Sieh dir einmal den Link an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Energiegl…

Darin das erste Kapitel:
„Die Bernoullische Energiegleichung als Höhengleichung“

und die erste Gleichung:
w2/2g + p/rho * g + z = const

die Geschwindigkeitshöhe ist laut Text: w2/2g,

also
w2/2g = h

Umgestellt: w2 = 2 g h und
w = sqrt {2 g h}

Mit deinen Indizes ergibt sich das gewünschte Ergebnis: „v = sqrt{2gd}“

Gruß

Tankred

#3

Bisher fehlende Skizze:
Ich habe die Aufgabe nicht im Wortlaut und mit den ursprünglichen Bezeichnungen wiedergegeben, da ich keinen Ärger mit Physikbuchverlagen erzeugen will.

Soist die Aufgabe allerdings doch zu unverständlich. Ich hoffe, mit Skizze ist das besser.

Selbige findet sich hier: http://img4web.com/view/FHNLZS

Gruß
Matthias

#4

Die von dir aufgeführte und niedergeschriebene Bernoullische Druckgleichung reibungsfreier, inkompressibler Medien gilt weder für laminare noch für turbulente Strömungen. In beiden Fällen (laminar/turbulent) ist Reibung vorhanden. Wenn du das Wasser in deiner Skizze gedanklich durch Honig ersetzt, wird dir intuitiv klar, dass in beiden Fällen keinesfalls die gleiche Strömungsgeschwindigkeit herrscht - obwohl beide Strömungen laminar sind.

#5

Das stimmt natürlich: reibungsfreie Fluide gibt es nicht (ich glaube noch nicht einmal flüssiges Helium) und inkompressibel ist Wasser auch nicht. Wasser erfüllt diese Forderungen aber in ausreichend guter Näherung, um recht realistische Ergebnisse zu bekommen. Und um mehr geht es bei einer Übungsaufgabe an der Uni ja auch nicht.

Oder ist diese Verletzung des Geltungsbereiches der Bernoullischen Druckgleichung die Ursache für den Widerspruch, den ich erhalte?

Falls du lediglich meine Bemerkung, das Wasser ströme im Schlauch laminar und deshalb sei Bernoulli anwendbar, korrigieren wolltest, muss ich dir zustimmen: Diesen Satz aus der Musterlösung habe ich ein Wenig zu gedankenverloren abgeschrieben.

#6

Hallo Tankred,

dein Vorschlag mit der Bernoulli-Gleichung als Höhengleichung gefällt mir sehr gut. Ich kannte diese Version der Bernoulli-Gleichung noch nicht und habe ein wenig gebraucht, mit ihr die Aufgabe zu erfassen. Die Bernoulli-Gleichung als Höhengleichung ist hier sehr zielführend, da dann nicht die Frage auftritt, weshalb man die Kontinuitätsgleichung auf die Punkte C und H anwenden darf, auf H und T jedoch nicht, wo doch augenscheinlich H und T auf derselben Höhe sind und nicht C und H. Das habe ich jetzt allerdings auch verstanden. Dankeschön dafür.

Gruß
Matthias