Strömungslehre 2/ Navier-Stokes-Gleichung

[EngineeR]

Hi ihr Lieben, es geht um diese Aufgabe. Ich tue mir mit Strömungslehre immer etwas schwer. Vorallem mit der höheren Strömungslehre. Ich beginne gerade für meine Prüfung zu lernen und würde mich freuen, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe hier helfen könnte. So wie ich die Aufgabe verstehe, ist es ja ein 2D Fall und man darf doch folgende Vereinfachung der Gleichung benutzen:

So damit hört es im Moment fast auf, da ich Differentialgleichungen so mäßig gut kann. Was ist denn u(du/dx) für diesen Fall? Und v(du/dx)? Und dann die Differentialgleichungen 2.Ordnung…hab ich mal gekonnt, stehe aber gerade irgendwie auf den Schlauch und komme nicht weiter. Wenn mir jemand erklären könnte wie man mit den differentialen umgeht wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße

[sweber]

Hallo!

Deine Gleichung muß man erstmal verstehen. Ich bezeichne die Geschwindigkeit mal mit v, dann ergibt sich auf der linken Seite:

Das sieht zwar schon wild aus, aber denk mal scharf nach: wenn die Strömung laminar ist, wie groß ist die z-Komponente der Geschwindigkeit? Und wie verändern sich die Geschwindigkeitskomponenten, wenn man etwas nach rechts oder unten geht?

Gaanz rechts steht:

Auch hier solltest du dich fragen, wie die partiellen Ableitungen bei einer laminaren Strömung wohl aussehen.
Durch das scharfe Nachdenken vereinfacht sich die Gleichung immens, und zwar so weit, daß es fast schon keine Differenzialgleichung mehr ist!

Der Vollständigkeit halber: Die ersten beiden Terme rechts des Gleichheitszeichens sind:

Schau mal, wie weit du damit kommst!

[EngineeR]

Danke für deine Antwort aber ich stehe leider immer noch auf den Schlauch und das macht mich gerade wahnsinnig…Also die Geschwindigkeitskomponente in z-richtung ist doch null…Also fallen alle Komponenten mit vz weg oder? Wenn man nach rechts geht wird die Geschwindigkeit durch das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil kleiner…nach unten ist die Geschwindigkeit in x-richtung konstant…oder? Wenn das nun richtig sein sollte komme ich leider aber trotzdem nicht viel weiter weil mein Hirn gerade blockt…also wenn vx über x konstant ist, und ich da nach x ableiten wird daraus doch 1 oder …wenn ich das ganze noch einmal ableiten dann 0…und weiter komme ich im Moment nicht. Vor allem mit der Differential über dz… Kannst du mir eventuell noch weiter helfen und das ganze noch weiter aufschlüsseln? Wäre wirklich froh, wenn ich die Aufgabe abhaken könnte und verstehen würde.
Lg

[sweber]

Hallo!

Also die Geschwindigkeitskomponente in z-richtung ist doch null…Also fallen alle Komponenten mit vz weg oder?

Jap!

Wenn man nach rechts geht wird die Geschwindigkeit durch das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil kleiner

Du meinst natürlich die vx-Komponente. Du hast mit dieser Aussage recht, aber daß ne Parabel raus kommt, sollst du ja ausrechnen.

nach unten ist die Geschwindigkeit in x-richtung konstant…oder?

Ja, die Flüssigkeit ist ja nicht kompressibel.

also wenn vx über x konstant ist, und ich da nach x ableiten wird daraus doch 1

Darüber solltest du nochmal nachdenken!

Also, im Prinzip ist es genau so, viele der Terme sind einfach 0. Die Ableitung von p soll ja als Parameter stehen bleiben, das ganze führt dann zu sowas wie „zweite Ableitung der Funktion = konstant“. Was für nen Ansatz macht man denn da?

Noch eine Korrektur: Das +ρg in meiner letzten Formel gehört in die obere Komponente, da in x-Richtung wirkend!