Substitution wann geht es, wann nicht?

[Ramona_Faber]

Ich habe da mal eine allgemeine Frage zur Substitution.

Wenn ich eine Gleichung habe wie x^4-3x^2+2=0 (z.B.) dann kann ich sie ja durch Substitution lösen.
Könnte ich auch eine Parabel 3ter Ordnung durch Substitution lösen?
Also beispielsweise x^3+2x^2+5=0
Ich muss ehrlich sagen, ich dachte es würde vielleicht gehen, aber ich habe es versucht und jetzt denke ich es geht nicht.

Welche Kriterien gibt es dafür, dass ich mit Substitution weiterkomme und wann geht es nicht?

Vielen Dank für die Hilfe.

[Peter_57]

Könnte ich auch eine Parabel 3ter Ordnung durch Substitution
lösen?
Also beispielsweise x^3+2x^2+5=0
Ich muss ehrlich sagen, ich dachte es würde vielleicht gehen,
aber ich habe es versucht und jetzt denke ich es geht nicht.

Welche Kriterien gibt es dafür, dass ich mit Substitution
weiterkomme und wann geht es nicht?

dafür gibt es keine Regel sondern Erfahrung und Rückgriff auf Formalismen

Eine Substitution wäre in diesem Fall w = (x + 2/3). Damit kommst du auf die reduzierte Form

w^3 – (4/3)w +(151/27) = 0

oder allgemein

w^3 + 3pw +2q = 0

mit 3p = -(4/3) und 2q = (151/27)

da im vorliegenden Fall q^2 + p^3 >0 ist, gibt es eine reelle Nullstelle, die du mit der kardanischen Formel (s. Suchmaschine) lösen kannst. Dafür benötigst du p und q.

[Ph33]

Hallo Ramona,
die von Peter_57 vorgeschlagene Substitution geht bei ganzen rationalen Funktionen 3. Ordnung immer. Sie entspricht einer Verschiebung des Graphen in x-Richtung so, dass der Wendepunkt auf die y-Achse fällt.
Grüße von Ph33