Summe von zwei Quadraten

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich versuche gerade folgendes zu zeigen.

Sei n Element N, x,y Element Q und a, b Element N.

Aus x^2+y^2=n folgt, dass es a, b so gibt, dass a^2+b^2 = n.

Vermutlich ist das gar nicht so kompliziert, aber irgendwie habe ich momentant einen Deckblockade…

Zuerst habe ich versucht, x,y als Burch mit Zahlen aus Z zu schreiben und das ganze umzuformen, hat irgendwie nicht funktioniert.

Dann habe ich mir überlegt, zu zeigen, dass die Voraussetzungen des Zwei-Quadrate-Satzes gelten, aber habe keine Idee, wie ich das anstellen sollte.

Kann mir jemand einen Tipp geben, in welche Richtung ich da am besten weiterdenken soll?

Danke

powerblue

#2

Hallo,

Hallo zusammen,

ich versuche gerade folgendes zu zeigen.

Sei n Element N, x,y Element Q und a, b Element N.

Aus x^2+y^2=n folgt, dass es a, b so gibt, dass a^2+b^2 = n.

Vermutlich ist das gar nicht so kompliziert, aber irgendwie
habe ich momentant einen Deckblockade…

Zuerst habe ich versucht, x,y als Burch mit Zahlen aus Z zu
schreiben und das ganze umzuformen, hat irgendwie nicht
funktioniert.

Das sollte schon funktionieren. Du musst dich insbesondere fragen, welche Bedingungen diese Zahlen erfuellen muessen, damit du eine ganze Zahl auf der rechten Seite stehen hast.

Gruesse,
Moritz

#3

Hallo,

dazu hatte ich folgendes überlegt:

Sei c, d, e, f Element Z und d,f ungleich 0. Sei x = c/d und y = e/f dann ist

(c^2*f^2 + e^2 * d^2 )/(e^2 * d^2) = n

Und da n Element N ist, gibt es ein k Element N mit

(c^2*f^2 + e^2 * d^2 ) = k * (e^2 * d^2)

Allerdings wusste ich dann nicht weiter, und nicht, wie mir das bisherige hilt…

Grüße

powerblue

#4

Richtig muss es so heißen:

(c^2*f^2 + e^2 * d^2 )/(f^2 * d^2) = n

Und da n Element N ist, gibt es ein k Element N mit

(c^2*f^2 + e^2 * d^2 ) = k * (f^2 * d^2)

Allerdings wusste ich dann nicht weiter, und nicht, wie mir das bisherige hilt…

Grüße

powerblue

#5

Gegenbsp?
Hi,

sei c=3, d=f=5 und e=4.
Dann gilt
c, d, e, f Element Z und d,f ungleich 0,
x=3/5, y=4/5
und x^2+y^2 = 1

aber x und y sind nicht aus N.

Grüße,
JPL

#6

Ja,

aber 0^2+1^2=1.

Es war ja nicht gesagt, dass a und b ganzzahlig sind, sondern nur, dass n in eine Summe von Quadraten ganzer Zahlen zerlegbar ist.

Man muss also irgendwie mit pythagoräischen Zahlentripeln den Nenner reduzieren können. Dazu sollte man wissen, dass pythagoräische Zahlentripel was mit Quadraten von Gaußzahlen zu tun haben.

Gruß Lutz

#7

Hallo,

ich weiß nicht ob es dir hilft, aber ich kann zumindest zeigen, dass die beiden Nenner der rationalen Zahlen x und y gleich sein müssen.
Nehmen wir an, dass

\left(\frac{c}{d}\right)^2+\left(\frac{e}{f}\right)^2=n

mit c,d,e,f∈Z und n∈N. Zunächst kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass c,d,e,f∈N, denn durch das Quadrat spielt das Vorzeichen eh keine Rolle. Weiterhin kann man annehmen, dass c und d teilerfremd sind und auch dass e und f teilerfremd sind, denn sonst könnte man kürzen.
Durch Umformen erhält man jetzt die Gleichung

(cf)^2=d^2(nf^2-e^2)

Das bedeutet d2 ist ein Teiler von (cf)2, und da c und d teilerfremd sind, muss d2 ein Teiler von f2 sein.
Genauso kann man mit der Gleichung

(ed)^2=f^2(nd^2-c^2)

zeigen, dass f2 ein Teiler von d2 ist. Demnach gilt d2=f2, und weil sowohl d als auch f natürlich sind d=f.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß,

hendrik

#8

Danke
Hi zusammen,

Danke für die Antworten.

Auf dem Weg nach Hause ist mir dann doch noch eingefallen, wie ich das beweisen kann und dabei sogar meine bisherigen Ergebnisse benutzen.

Wie vermutet war es gar nicht so schwer, musste nur einfach erst mal was anders machen.

Grüße

powerblue

#9

Hallo.

Auf dem Weg nach Hause ist mir dann doch noch eingefallen, wie
ich das beweisen kann und dabei sogar meine bisherigen
Ergebnisse benutzen.

Wie vermutet war es gar nicht so schwer, musste nur einfach
erst mal was anders machen.

Lässt du uns an deiner Idee teilhaben?

Sebastian.

#10

Hi,

klar mache ich das…

Also, erst nochmal die Aufgabe, bin nicht sicher, ob die beim letzen mal 100% richtig formultiert war, hatte meine Unterlagen nicht bei.

Sei n Element N und r,s Element Q. Wenn gilt: r^2 + s^2 = n, dann gibt es ein a, b Element Z, so dass a^2 + b^2 = n ist.

Weil ich das hier nicht so schön hinschreiben kann, habe ich meine Lösung mal von Hand aufgeschrieben:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=5c8387-1…

Grüße

powerblue

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