Surjektiv, injektiv und bijektiv

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Leute! 

Ich habe eine Frage zu den Begriffen surjektiv, injektiv und bijektiv.

Folgende Aufgabe: Sei f: Z=>ZxZ definiert durch f(z) = (z,z+1) für alle z€Z. Untersuchen Sie, ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Ich stelle mir diese Begriffe folgendermaßen vor:
Injektiv ist eine Abbildung, wenn es zu jedem y-Wert nur einen x-Wert gibt.
Surjektiv ist eine Abbildung, wenn alle y-Werte der Menge genutzt werden.
Bijektiv ist eine Abbildung, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Die Angabe (y=x+1) ist nun eine lineare Funktion mit Steigung 1 und Ordinatenabschnitt 1. Ich glaube, sie wird nicht als durchgängige Linie, sondern aufgrund der Zahlenmenge Z als einzelnen Punkte gezeichnet. Diese Punkte sind (-2/-1), (-1/0), (0,1), (1/2), (2/3),…usw.

Meiner Ansicht nach ist die Funktion nun injektiv und surjektiv, da einerseits kein y-Wert 2 oder mehrere x-Werte hat und jeder y-Wert der Zahlenmenge Z genutzt wird.

Laut Lösung ist die Aufgabe zwar injektiv, aber nicht surjektiv mit folgendem Beweis: „Es ist (0/2) € ZxZ, aber es gibt kein z€Z mit (z,z+1). Somit besitzt nicht jedes Element in ZxZ ein Urbild unter f => nicht surjektiv."

Hier wird aber vom speziellen Punkt (0/2) ausgegangen, dass müsste ja voll der Zufall sein, wenn bei einer Funktion genau der Punkt (0/2) getroffen wird!?

Bitte um Hilfe! 
Danke, Philipp Hofer

#2

Hallo Philipp,

Dein Verständnis von injektiv, surjektiv und bijektiv stimmt schon im Groben.
Injektiv heißt allerdings nur, dass es zu jedem Wert der Zielmenge (den Du y nennst) höchstens einen Wert der Definitionsmenge (den Du x nennst) gibt; dass alle Werte der Zielmenge auftreten, ist ja gerade die Surjektivität…

Deine Verwirrung entsteht an der Stelle, wo Du für f(z) = (z,z+1) Deine Interpretation von x und y mit Werten der Zielmenge verwechselst. Wenn Du die Funktionswerte y nennen willst, sind die für diese Funktion, die Z nach Z×Z abbildet, die Punkte y = f(x) = (x, x+1). Diese Funktion kann nicht durch einen zweidimensionalen Graph dargestellt werden, weil die Werte bereits zweidimensional sind!
Wenn Du das verstanden hast, ist Dir sicher plausibel, dass nicht alle Werte aus Z×Z angenommen werden, da die Wertemenge in Z×Z, wie Du richtig erkannt hast, nur eine Teilmenge einer Geraden der Ebene ist.
Um zu beweisen, dass nicht alle Werte angenommen werden, reicht es in der Tat, ein einziges Gegenbeispiel anzugeben. Die von Dir zitierte Lösung hat sich offenbar für den willkürlichen Wert (0, 2) entschieden.

Schöne Grüße,

Manfred

#3

Das bedeutet also, dass f(z) = (z,z+1) nicht das selbe ist wie f(z) = z+1, weil die erste Funktion dreidimensional wäre, da die Werte z,z+1 bereits zweidimensional sind. Aber wie kann ich mir diese erste Funktion vorstellen?
Ich stelle mir, um diese Eigenschaften zu bestimmen, sonst immer die Funktion als Graph vor und überlege, ob eben diese Bedingungen gegeben sind, so nach diesem Video:
http://www.youtube.com/watch?v=cJYd-D81q4Q

Ich kann mir nicht vorstellen, warum nicht alle Werte aus Z×Z angenommen werden, weil ich ja nicht weiß wie der Funktionsgraph ausschaut?!?

#4

Das bedeutet also, dass f(z) = (z,z+1) nicht das selbe ist wie
f(z) = z+1,

Du kannst sie über eine Wertetabelle visualisieren (und nein, ich werde jetzt dafür nicht HTML lernen :smile: :

f: Z --> ZxZ
…
-2 --> (-2; -1)
-1 --> (-1; 0)
0 --> (0; 1)
1 --> (1; 2)
2 --> (2; 3)
…

Bei g: Z --> Z: z --> z+1 ist die Wertemenge anders (Z statt ZxZ, somit sind g und f schon mal unterschiedlich.

Jetzt siehst du, welche Funktionswerte (die Paare von ganzen Zahlen sind) auftreten. Andere Paare, wie (-5; 365), (0; 2) etc. tauchen nicht auf, sind aber in Z x Z. Somit ist die Funktion NICHT surjektiv (und somit nicht bijektiv).

Wenn wir aber ein Paar (z; z+1) haben, dann gibt es nur einen Wert x, für den f(x) = (z; z+1) ist, nämlich x = z. Somit ist f injektiv.

Natürlich kannst du auch den Graphen in Z^3 malen - das sind dann Punkte im dreidimensionalen Raum, wobei eine Dimension der Definitionsbereich und das kartesische Produkt der anderen Dimensionen der Wertebereich ist.

Viele Grüße

Bombadil