Surjektivität, Injektivität und Surjektivität

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, also ich hänge an einer Aufgabe. Sie lautet wie folgt:
Es seien X, Y, Z Mengen und f: X -> Y, g: Y -> Z Abbildungen. Sei weiter h: X->Z, x -> g(f(x)) die Komposition von f und g. Beweisen Sie:
(i) Ist h surjektiv, dann auch g.
(ii) Ist h injektiv, dann auch f.
(iii) In (i) muss f nicht surjektiv sein und in (ii) g nicht injektiv. Geben Sie Beispiele an!
(iv) Ist X endlich und f: X -> X eine Abbildung, so sind äquivalent:

  • f ist injektiv, 

  • f ist surjektiv, 

  • f ist bijektiv.

Also hier meine Ansätze:
zu (i): Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an dass g(x) ungleich z. Das heißt dann, dass (g(f(x) = h (x)) ungleich z gelten muss. Dies jedoch ist ein Wiederspruch zur Annahme. 

Reicht das?

zu (ii)
Falls: f(x1) = f(x2) mit x1 ungleich x2
=> g(f(x1)) = g(f(x2))
h(x1) = h(x2)
–> Widerspruch

Ich glaube, dass das nicht ganz richtig ist, weil es von der falschen Richtung aus geht, aber ich habe keine Idee, wie ich sonst an die Aufgabe rangehen soll…

zu (iii)
f(x) = sin (x) (W=-1;1)
g(y)= sin^-1 (y)

und

f(x) = 2x, x >= 0 (mit X = Z)
         2x+1, x

#2

Hallo,

zu (i): Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an dass g(x) ungleich z. Das heißt dann, dass (g(f(x) = h (x)) ungleich z gelten muss. Dies jedoch ist ein Wiederspruch zur Annahme.

Das musst du genauer aufschreiben. Ich kann hier nicht eindeutig erkennen, was du meinst. Insbesondere solltest du definieren, was x und z sind. Ich würde deine Darstellung so deuten:
„Wir nehmen an, es gibt ein x aus Y und ein z aus Z, sodass g(x) != z…“
Allein aus dieser Annahme kann man nicht wirklich viel folgern. Ich würde es sowieso direkt beweisen. Nämlich ungefähr so:
Sei h surjektiv. Dann gibt es für jedes z aus Z ein x aus X, sodass h(x)=z=g(f(x)). Damit gilt auch, für jedes z aus Z existiert ein y aus Y, sodass z=g(y), nämlich y=f(x). Also ist g surjektiv.

zu (iii)

In Worten sieht dein Beweis ja so aus. Wir setzen voraus, dass h injektiv ist.
Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann ist auch h nicht injektiv. Das ist ein Widerspruch, also kann die Annahme, dass f nicht injektiv ist, nicht stimmen. Also muss f injektiv sein unter der Voraussetzung, dass h injektiv ist. Stimmt also.

zu (iii)

Zu (i).
Ich hoffe, es ist ungefähr erkennbar. Unten nochmal schriftlich.

X Y Z

o--\>o--\>o
 /
o o

Also: X = { x1, x2 }, Y = { y1, y2 }, Z = { z1 }
f(x1) = y1, f(x2) = y1
g(y1) = z1, g(y2) = z1
Sowohl g als auch h sind surjektiv, aber nicht f.

Zu (ii) kann man ein ähnlich kleines Beispiel finden. Denk an die Implikationen für die Mächtigkeiten. Ist f : X -> Y injektiv, muss Y mindestens so viele Elemente haben wie X, bei Surjektivität darf Y maximal so viele Elemente wie X haben.

zu (iv)

Alle diese drei Eigenschaften sind unter der angegebenen Bedingung äquivalent. Ist eine Funktion injektiv, dann ist sie gleichzeitig auch surjektiv und bijektiv.
Du müsstest hier also zeigen, dass aus Injektivität Surjektivität folgt und andersherum. Bijektivität folgt dann automatisch. Dazu musst du auch die Eindeutigkeit von Funktionen einbeziehen. Also für ein Argument x, gibt es genau einen Funktionswert f(x).

Nico