Symbolik für zweite Ableitung

Wissenschaft Mathematik
#1

hallo!

„d²/dx²“ ist ja eine benutze Symbolik für die zweite Ableitung. Welchen Urpsrung hat die zwei im Exponenten?
Man kann die zweite Ableitung ja als (d/dx(d/dx)) schreiben. Doch heißt das ja „Ableitung von der Ableitung“ und nicht „Ableitung mal Ableitung“. Ist vielleicht so die 2 im Exponenten entstanden, weil man das als Produkt interpretiert hat?
Oder bedeutet die „2“ einfach nur „zweite Ableitung“ und man hätte sie auch als Index schreiben können, hat sich aber einfach für die Position im Exponenten entschieden?

Gruß
Paul

#2

hi,

„d²/dx²“ ist ja eine benutze Symbolik für die zweite
Ableitung. Welchen Urpsrung hat die zwei im Exponenten?
Man kann die zweite Ableitung ja als (d/dx(d/dx)) schreiben.
Doch heißt das ja „Ableitung von der Ableitung“ und nicht
„Ableitung mal Ableitung“. Ist vielleicht so die 2 im
Exponenten entstanden, weil man das als Produkt interpretiert
hat?
Oder bedeutet die „2“ einfach nur „zweite Ableitung“ und man
hätte sie auch als Index schreiben können, hat sich aber
einfach für die Position im Exponenten entschieden?

das quadrat ² hat in der mathematik tatsächlich 2 bedeutungen:

  1. das quadrat im engeren sinn, die multiplikation einer zahl / eines terms mit sich selbst. (das ist sicher die hauptbedeutung.)
  2. die hintereinanderausführung derselben rechenvorschrift, desselben „operators“
    das heißt hier
    \frac{d^2}{dx^2}
    also ableitung der ableitung, angewendet auf eine funktion y
    \frac{d^2 y}{dx^2}.

im fall der differenziale kommt tatsächlich noch dazu, dass sich die bruchschreibweise (die an sich ja auch fragwürdig ist) mit der multiplikations-/potenzschreibweise gut verträgt. man kann z.b. die kettenregel einprägsam notieren, indem man
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
notiert. (es handelt sich nicht um brüche; du darfst (an sich) nicht (aber irgendwie doch) „kürzen“.

wenn du nicht eine variable dazwischenschiebst, sondern zweimal nach der gleichen variablen ableitest, ist das in dieser notationslogik
\frac{d}{dx} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d^2}{dx^2}

aber wie gesagt: das quadrat als symbol der hintereinanderausführung kommt nicht nur in der differenzialrechnung vor.

m.

#3

im fall der differenziale kommt tatsächlich noch dazu, dass
sich die bruchschreibweise (die an sich ja auch fragwürdig ist)

Wieso das denn?! Es handelt sich um ein Verhältnis und was ist ein Bruch anderes als ein Verhältnis?

wenn du nicht eine variable dazwischenschiebst, sondern
zweimal nach der gleichen variablen ableitest, ist das in
dieser notationslogik
\frac{d}{dx} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d^2}{{(dx)}^2}

Das d steht aber außer in allgemeinen Differentialoperatoren (Nabla) nie alleine. \frac{d}{dx} macht also alleine eigentlich keinen Sinn(weil kein Wert), sondern ist eine Rechenanweisung die sich immer auf eine Funktion beziehen muss.

aber wie gesagt: das quadrat als symbol der
hintereinanderausführung kommt nicht nur in der
differenzialrechnung vor.

Wo denn noch?

\frac{(dy)^2}{(dx)^2}
Hätte ja eine ganz andere Bedeutung, das wäre:
{({\frac{dy}{dx}})}^2